Zadanie 29 — matura 2020, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dwa okręgi o promieniach \(r=2\) i \(R=6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\) i \(P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha=30^\circ\) (zobacz rysunek).

Dwa okręgi styczne zewnętrznie i styczne do prostej k; prosta l przechodzi przez ich środki S i P, a między prostymi zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środków

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków jest sumą promieni.

\[SP=r+R=2+6=8\]

2 Różnica odległości od prostej

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do prostej k. Środki leżą po tej samej jej stronie, więc ich odległości od k różnią się o 4.

\[R-r=6-2=4\]

3 Obliczenie kąta

Po poprowadzeniu przez S prostej równoległej do k otrzymujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej SP=8 i przyprostokątnej naprzeciw kąta α równej 4.

\[\sin\alpha=\frac{R-r}{SP}=\frac{4}{8}=\frac12\]

4 Wybór wartości kąta

Na rysunku α jest kątem ostrym. Jedyny kąt ostry, którego sinus wynosi jedna druga, ma 30°.

\[\alpha=30^\circ\]

Odpowiedź

Prosta l przecina prostą k pod kątem 30°.

\[\boxed{\alpha=30^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° składowa odcinka SP prostopadła do k wynosi 4, czyli dokładnie tyle, ile wynosi różnica promieni.

\[SP\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4=R-r\]