Zadanie 32 — matura 2020, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość 12, a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą 10. Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta \(\alpha\), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).

Trójkąt ABC z podstawą AB oznaczoną 12 i ramionami oznaczonymi 10. Punkt D leży na ramieniu BC. Odcinek AD tworzy z AC kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z C dzieli podstawę na odcinki długości 6. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[h=\sqrt{10^2-6^2}=8\]

2 Obliczenie długości środkowej

Przyjmujemy A=(0,0), B=(12,0) i C=(6,8). Ponieważ D jest środkiem BC, ma współrzędne (9,4).

\[D=\left(\frac{12+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(9,4),\qquad AD=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}\]

3 Obliczenie sinusa kąta

Odcinki BD i CD są równe, więc trójkąt ACD ma połowę pola ABC. Korzystamy też ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P_{ACD}=\frac12\cdot\frac{12\cdot8}{2}=24,\qquad 24=\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Odpowiedź

Sinus kąta α wynosi \(\frac{24}{5\sqrt{97}}\).

\[\sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Sprawdzenie

Podstawienie wyniku do wzoru na pole daje 24, czyli połowę pola trójkąta ABC. Ponadto otrzymany sinus jest mniejszy od 1.

\[\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\frac{24}{5\sqrt{97}}=24,\qquad \frac{24^2}{25\cdot97}=\frac{576}{2425}<1\]