Otwarte4 pkt
Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie tworzącej
Pole boczne stożka wynosi \(\pi r l\), a pole podstawy \(\pi r^2\). Z podanej zależności i warunku \(r>0\) otrzymujemy długość tworzącej.
\[\pi r l=3\pi r^2\quad\Rightarrow\quad l=3r\]
2 Obliczenie promienia
Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[l^2=r^2+h^2\quad\Rightarrow\quad (3r)^2=r^2+12^2\quad\Rightarrow\quad 8r^2=144\quad\Rightarrow\quad r^2=18\]
3 Obliczenie objętości
Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość stożka.
\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot18\cdot12=72\pi\]
Odpowiedź
Objętość stożka wynosi \(72\pi\) jednostek sześciennych.
\[V=72\pi\]
Sprawdzenie
Dla dodatniego promienia \(r=3\sqrt{2}\) tworząca wynosi \(l=9\sqrt{2}\), zatem stosunek pola bocznego do pola podstawy jest równy 3. Z twierdzenia Pitagorasa wysokość wynosi 12.
\[\frac{\pi r l}{\pi r^2}=\frac{l}{r}=3,\qquad \sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{162-18}=12\]