Otwarte5 pkt
Prosta o równaniu \(y=-2x+7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P=(4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunek prostopadłości
Symetralna jest prostopadła do odcinka \(PQ\). Prosta o współczynniku kierunkowym \(-2\) jest prostopadła do prostej o współczynniku \(\frac12\). Dla \(Q=(a,b)\) otrzymujemy:
\[b-5=\frac12(a-4),\quad b=\frac12a+3.\]
2 Warunek środka odcinka
Środek odcinka \(PQ\) leży na symetralnej, więc jego współrzędne spełniają równanie danej prostej.
\[\frac{5+b}{2}=-2\cdot\frac{4+a}{2}+7,\quad b=1-2a.\]
3 Wyznaczenie punktu
Porównujemy otrzymane wyrażenia na \(b\), a następnie obliczamy drugą współrzędną.
\[\frac12a+3=1-2a\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac45,\qquad b=1-2\left(-\frac45\right)=\frac{13}{5}.\]
Odpowiedź
Punkt Q ma współrzędne \(\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right)\).
\[Q=\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right)\]
Sprawdzenie
Środek odcinka leży na podanej prostej. Współczynnik kierunkowy odcinka wynosi \(\frac12\), a iloczyn współczynników prostych wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.
\[S=\left(\frac85,\frac{19}{5}\right),\quad -2\cdot\frac85+7=\frac{19}{5},\qquad \frac{\frac{13}{5}-5}{-\frac45-4}=\frac12,\quad (-2)\cdot\frac12=-1.\]