Matematyka — matura 2020

Równość \(2+a=\frac{9a}{2a+1}\) jest prawdziwa, gdy

\(a=-2\)

\(a=-1\)

\(a=1\)

\(a=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek

Mianownik musi być różny od zera.

\[2a+1\ne 0\quad\Longrightarrow\quad a\ne-\frac12\]

2 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez niezerowe \(2a+1\), aby otrzymać równanie kwadratowe.

\[(a+2)(2a+1)=9a\quad\Longrightarrow\quad 2a^2-4a+2=0\]

3 Rozwiązanie równania

Wyłączamy wspólny czynnik i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

\[2(a-1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad a=1\]

Odpowiedź

Równość jest prawdziwa dla a = 1. Odpowiedź C.

\[a=1\quad(\mathrm{C})\]

Sprawdzenie

Dla a = 1 mianownik wynosi 3, więc jest niezerowy. Lewa i prawa strona równania są równe 3.

\[2+1=3=\frac{9\cdot1}{2\cdot1+1}\]

Zadanie 2

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba \(1-(2^7-1)^2\) jest równa

\(-2^{14}\)

\(2^8-2^{14}\)

\(2-2^{14}\)

\(-2^{14}-2\cdot 2^7+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy, aby usunąć nawias.

\[(2^7-1)^2=2^{14}-2\cdot2^7+1=2^{14}-2^8+1\]

2 Uprość wyrażenie

Odejmujemy otrzymany wynik i redukujemy jedynki.

\[1-(2^7-1)^2=1-2^{14}+2^8-1=2^8-2^{14}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^8-2^{14}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2^7-1=127\), wyjściowe wyrażenie ma wartość \(1-127^2=-16128\). Otrzymany wynik daje \(256-16384=-16128\).

\[1-127^2=-16128=2^8-2^{14}\]

Zadanie 3

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}4^8\) jest równa

\(2\)

\(4\)

\(32\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie jako potęg liczby 2

Sprowadzamy podstawę i liczbę logarytmowaną do tej samej podstawy, aby zastosować własność logarytmu.

\[\sqrt{2}=2^{\frac12},\qquad 4^8=(2^2)^8=2^{16}\]

2 Obliczenie logarytmu

Korzystamy z własności \(\log_{a^m}a^n=\frac{n}{m}\), gdzie \(a>0\) i \(a\neq1\).

\[\log_{\sqrt{2}}4^8=\log_{2^{\frac12}}2^{16}=\frac{16}{\frac12}=32\]

Odpowiedź

Wynik to 32, odpowiedź C.

\[\boxed{32\text{ — C}}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1. Ponieważ podniesienie jej do potęgi 32 daje liczbę logarytmowaną, wynik jest poprawny.

\[(\sqrt{2})^{32}=(2^{\frac12})^{32}=2^{16}=4^8\]

Zadanie 4

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Masę Słońca równą \(1{,}989\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\) przybliżono do \(2\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

\(0{,}0011\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\)

\(1{,}1\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\)

\(0{,}11\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\)

\(0{,}011\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie błędu bezwzględnego

Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy między przybliżeniem a dokładną masą.

\[\left|2\cdot10^{30}-1{,}989\cdot10^{30}\right|=\left|2-1{,}989\right|\cdot10^{30}=0{,}011\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[0{,}011\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Sprawdzenie

Dodanie obliczonej różnicy do dokładnej masy daje podane przybliżenie.

\[1{,}989\cdot10^{30}+0{,}011\cdot10^{30}=2\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Zadanie 5

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{1}{6}-x\geq\frac{2}{3}x+4\) jest

\(-3\)

\(-2\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy

Zbieramy wyrazy z \(x\) po prawej stronie, a liczby po lewej.

\[\frac{1}{6}-4\geq x+\frac{2}{3}x\quad\Longrightarrow\quad-\frac{23}{6}\geq\frac{5}{3}x\]

2 Wyznacz granicę

Dzielimy obie strony przez dodatnią liczbę \(\frac{5}{3}\), więc znak nierówności się nie zmienia.

\[x\leq-\frac{23}{6}\cdot\frac{3}{5}=-\frac{23}{10}=-2{,}3\]

3 Wybierz liczbę całkowitą

Największą liczbą całkowitą nie większą niż \(-2{,}3\) jest \(-3\).

\[x_{\max}=-3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(-3\).

\[-3\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-3\) lewa strona wynosi \(\frac{19}{6}\), a prawa \(2\), więc nierówność jest spełniona. Następna większa liczba całkowita, \(-2\), jej nie spełnia: \(\frac{13}{6}<\frac{8}{3}\).

\[\frac{19}{6}\geq 2,\qquad \frac{13}{6}<\frac{8}{3}\]

Zadanie 6

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych

nie ma żadnego rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma więcej niż dwa rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy zero.

\[x\in\mathbb{Z},\quad x\ne 0\]

2 Przekształcenie równania

Mnożymy obie strony przez niezerowe \(x\), przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[1-x=2x^2\quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2+x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad(2x-1)(x+1)=0\]

3 Wybór rozwiązania całkowitego

Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem. Spośród otrzymanych liczb tylko \(-1\) jest całkowite.

\[x=\frac12\ \text{lub}\ x=-1;\qquad x\in\mathbb{Z}\ \Longrightarrow\ x=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie całkowite: −1. Odpowiedź B.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Liczba −1 spełnia warunek dziedziny. Po podstawieniu obie strony równania są równe −2.

\[\frac{1-(-1)}{-1}=-2=2\cdot(-1)\]

Zadanie 7

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Boki trójkąta \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y=\frac{2}{3}x+2\) i \(y=-x+2\) oraz osi \(Ox\) układu współrzędnych (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Układ współrzędnych z osiami Ox i Oy oraz dwiema prostymi przecinającymi się w punkcie C na osi y. Punkty A i B leżą na osi x; zaznaczono także początek układu 0.

\(10\)

\(\frac{5}{2}\)

\(5\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie podstawy

Punkty A i B leżą na osi Ox, więc w równaniach prostych podstawiamy y=0.

\[0=\frac{2}{3}x+2\Rightarrow x=-3,\qquad 0=-x+2\Rightarrow x=2,\qquad |AB|=2-(-3)=5\]

2 Wyznaczenie wysokości

Obie proste przecinają się na osi Oy w punkcie C=(0,2). Jego odległość od osi Ox jest wysokością trójkąta.

\[h=|2|=2\]

3 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości.

\[P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot5\cdot2=5\]

Odpowiedź

Pole wynosi 5. Odpowiedź C.

\[P=5\]

Sprawdzenie

Dla x=−3 pierwsza prosta ma y=0, dla x=2 druga ma y=0, a obie dla x=0 mają y=2. Podstawa ma więc długość 5, a wysokość 2.

\[\frac{1}{2}\cdot5\cdot2=5\]

Zadanie 8

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \(P=(-3,7)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=(2m-1)x+5\). Zatem

\(m=\frac{1}{6}\)

\(m=-\frac{1}{6}\)

\(m=\frac{5}{6}\)

\(m=-\frac{5}{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Ponieważ punkt P leży na wykresie, dla x=-3 wartość funkcji wynosi 7.

\[7=(2m-1)(-3)+5\]

2 Obliczenie parametru

Rozwijamy nawias i rozwiązujemy równanie względem m.

\[7=-6m+8\quad\Rightarrow\quad -1=-6m\quad\Rightarrow\quad m=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

m=1/6, odpowiedź A.

\[m=\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości m funkcja przyjmuje w punkcie x=-3 wartość 7, więc P leży na jej wykresie.

\[f(-3)=\left(2\cdot\frac{1}{6}-1\right)(-3)+5=\left(-\frac{2}{3}\right)(-3)+5=7\]

Zadanie 9

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-x^2+6x+4\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \((3,q)\). Liczba \(q\) jest równa

\(4\)

\(7\)

\(9\)

\(13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnej wierzchołka

Wierzchołek leży na wykresie funkcji, więc jego druga współrzędna jest równa wartości funkcji dla \(x=3\).

\[q=f(3)=-(3)^2+6\cdot3+4=-9+18+4=13\]

Odpowiedź

Liczba \(q\) wynosi 13. Odpowiedź D.

\[q=13\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że wierzchołek ma współrzędne \((3,13)\).

\[f(x)=-(x-3)^2+13\]

Zadanie 10

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej \(n\geq 1\) przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

\(\{0,1,2,3\}\)

\(\{1,2,3,4\}\)

\(\{0,1,2,3,4\}\)

\(\{0,2\}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Możliwe reszty

Reszta z dzielenia przez 4 jest nieujemna i mniejsza od 4, więc może wynosić tylko 0, 1, 2 lub 3.

\[n=4q+r,\quad 0\leq r<4\]

2 Występowanie reszt

Liczby 1, 2, 3 i 4 należą do dziedziny i dają wszystkie cztery możliwe reszty.

\[f(1)=1,\quad f(2)=2,\quad f(3)=3,\quad f(4)=0\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest {0, 1, 2, 3}. Odpowiedź A.

\[\{0,1,2,3\}\]

Sprawdzenie

Każda wskazana reszta występuje, a reszta 4 nie jest możliwa, ponieważ musi być mniejsza od dzielnika 4.

\[0\leq r<4\]

Zadanie 11

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Stąd wynika, że

Fragment wykresu paraboli skierowanej ramionami w dół, stycznej do dodatniej półosi x, z osiami i oznaczeniami x, y oraz 0.

\(\begin{cases}a<0\\b<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a<0\\b>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\b<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\b>0\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika a

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik przy kwadracie jest ujemny.

\[a<0\]

2 Znak współczynnika b

Wierzchołek leży na dodatniej półosi x. Ponieważ jego pierwsza współrzędna wynosi \(-\frac{b}{2a}\), a \(2a<0\), musi zachodzić \(b>0\).

\[-\frac{b}{2a}>0,\quad a<0\quad\Longrightarrow\quad b>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[a<0,\quad b>0\]

Sprawdzenie

Dla a<0 i b>0 iloraz \(-\frac{b}{2a}\) jest dodatni, więc wierzchołek leży po prawej stronie osi y, zgodnie z rysunkiem.

\[-\frac{b}{2a}>0\]

Zadanie 12

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są prostopadłe. Wtedy

\(m=-\frac{5}{4}\)

\(m=\frac{2}{3}\)

\(m=\frac{11}{4}\)

\(m=\frac{10}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynników kierunkowych

W równaniu prostej postaci \(y=ax+b\) współczynnikiem kierunkowym jest liczba \(a\).

\[a_1=m-2,\qquad a_2=\frac{3}{4}\]

2 Zastosowanie warunku prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\), więc rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[(m-2)\cdot\frac{3}{4}=-1\quad\Rightarrow\quad m-2=-\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=\frac{2}{3}\).

\[m=\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[\left(\frac{2}{3}-2\right)\cdot\frac{3}{4}=-\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}=-1\]

Zadanie 13

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(a_4=2020\). Suma \(a_2+a_6\) jest równa

\(505\)

\(1010\)

\(2020\)

\(4040\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów względem czwartego

W ciągu arytmetycznym każde przesunięcie o jeden wyraz zmienia wartość o tę samą różnicę r. Wyrazy drugi i szósty leżą po dwa miejsca od czwartego.

\[a_2=a_4-2r,\qquad a_6=a_4+2r\]

2 Obliczenie sumy

Po dodaniu wyrazów różnice się redukują. Podstawiamy daną wartość czwartego wyrazu.

\[a_2+a_6=(a_4-2r)+(a_4+2r)=2a_4=2\cdot2020=4040\]

Odpowiedź

Suma wynosi 4040. Odpowiedź D.

\[a_2+a_6=4040\]

Sprawdzenie

Dla dowolnej różnicy r składniki −2r i 2r znoszą się, więc suma zawsze jest równa dwukrotności 2020.

\[(2020-2r)+(2020+2r)=4040\]

Zadanie 14

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) oraz \(a_2=6\) i \(a_5=-48\). Wynika stąd, że

\(a_7>0\)

\(a_7<0\)

\(a_7>a_6\)

\(a_7>a_8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym od wyrazu drugiego do piątego mnożymy trzykrotnie przez iloraz \(q\).

\[a_5=a_2q^3,\quad -48=6q^3,\quad q^3=-8,\quad q=-2\]

2 Obliczenie siódmego wyrazu

Od piątego do siódmego wyrazu mnożymy dwukrotnie przez \(q\).

\[a_7=a_5q^2=-48\cdot(-2)^2=-192<0\]

Odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: B, ponieważ \(a_7<0\).

\[a_7=-192<0\]

Sprawdzenie

Sąsiednie wyrazy wynoszą \(a_6=96\) i \(a_8=384\). Zatem pozostałe nierówności z odpowiedzi A, C i D są fałszywe.

\[a_6=-48\cdot(-2)=96,\quad a_8=-192\cdot(-2)=384;\quad -192<0,\quad -192<96,\quad -192<384\]

Zadanie 15

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A=(80,-1)\) i \(B=(-6,-19)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\). W tym trójkącie kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych

\((43,-10)\)

\((37,10)\)

\((43,10)\)

\((37,-10)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozpoznanie przeciwprostokątnej

Kąt przy C jest prosty, więc bok AB jest przeciwprostokątną. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej.

\[S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\]

2 Obliczenie środka

Podstawiamy współrzędne końców odcinka AB do wzoru na jego środek.

\[S=\left(\frac{80+(-6)}{2},\frac{-1+(-19)}{2}\right)=(37,-10)\]

Odpowiedź

Środek okręgu ma współrzędne (37, −10). Odpowiedź D.

\[S=(37,-10)\]

Sprawdzenie

Punkt (37, −10) jest jednakowo odległy od A i B: w obu przypadkach kwadrat odległości wynosi 1930.

\[SA^2=(80-37)^2+(-1+10)^2=1930,\quad SB^2=(-6-37)^2+(-19+10)^2=1930\]

Zadanie 16

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) są dane długości boków: \(|AB|=8\), \(|BC|=5\), \(|DC|=5\), \(|AD|=4\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta ostrego \(ABC\) w tym trapezie jest równy

Trapez prostokątny ABCD z oznaczonym kątem ABC i długościami boków 8, 5, 5, 4

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Utworzenie trójkąta prostokątnego

Opuszczamy z punktu C prostopadłą na AB i oznaczamy jej podstawę przez E. Ponieważ AD jest prostopadłe do podstaw, ADCE jest prostokątem. Stąd AE=DC=5 oraz CE=AD=4.

\[|AE|=5,\qquad |CE|=4\]

2 Obliczenie tangensa

Odcinek BE jest różnicą długości podstawy AB i odcinka AE. W trójkącie prostokątnym BCE tangens kąta ABC jest ilorazem przyprostokątnej naprzeciw kąta i przyprostokątnej przy kącie.

\[|BE|=8-5=3,\qquad \tan\angle ABC=\frac{|CE|}{|BE|}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta ABC wynosi 4/3. Odpowiedź A.

\[\tan\angle ABC=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Obliczone przyprostokątne dają przeciwprostokątną długości 5, zgodną z podaną długością BC. Ponieważ obie przyprostokątne mają dodatnie długości, rozpatrywany kąt jest ostry.

\[|BC|=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

Zadanie 17

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-2)\) i \(C=(0,5)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Obwód tego kwadratu jest równy

\(12\)

\(20\)

\(28\)

\(48\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Długość odcinka łączącego punkty obliczamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AC|=\sqrt{(0-1)^2+(5-(-2))^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

2 Obliczenie boku i obwodu

Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), a obwód jest równy \(4a\).

\[a=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5,\qquad O=4\cdot5=20\]

Odpowiedź

Obwód kwadratu wynosi 20. Odpowiedź B.

\[O=20\]

Sprawdzenie

Dla boku długości 5 przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), zgodną z długością odcinka \(AC\).

\[5\sqrt{2}=|AC|\]

Zadanie 18

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Pole trójkąta równoramiennego jest równe \(25\sqrt{2}\). Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa \(45^\circ\). Każde z ramion tego trójkąta ma długość

\(10\sqrt{2}\)

\(5\sqrt{2}\)

\(5\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pola

Oznaczamy długość ramienia przez \(a>0\). Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P=\frac12a^2\sin45^\circ=\frac{a^2\sqrt2}{4}\]

2 Obliczenie ramienia

Podstawiamy podane pole, skracamy przez \(\sqrt2\) i wybieramy dodatnią długość.

\[\frac{a^2\sqrt2}{4}=25\sqrt2\;\Longrightarrow\;a^2=100\;\Longrightarrow\;a=10\]

Odpowiedź

Każde ramię ma długość 10. Odpowiedź D.

\[a=10\]

Sprawdzenie

Dla ramion długości 10 i kąta 45° wzór daje dokładnie podane pole.

\[\frac12\cdot10\cdot10\cdot\sin45^\circ=25\sqrt2\]

Zadanie 19

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(BC\) ma długość \(250\) cm, a przyprostokątna \(AC\) ma długość \(91\) cm. Miara \(\beta\) kąta \(ABC\) spełnia warunek

\(19^\circ<\beta<21^\circ\)

\(21^\circ<\beta<23^\circ\)

\(67^\circ<\beta<69^\circ\)

\(69^\circ<\beta<71^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie tangensa

Kąt prosty leży przy C. Dla kąta przy B bok AC jest przeciwległy, a BC przyległy, więc korzystamy z definicji tangensa.

\[\tan\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{91}{250}=0{,}364\]

2 Wyznaczenie przedziału

Tangens rośnie dla kątów ostrych. Porównanie wartości na końcach przedziału pozwala ustalić, gdzie leży kąt β.

\[\tan19^\circ\approx0{,}3443<0{,}364<0{,}3839\approx\tan21^\circ\quad\Longrightarrow\quad19^\circ<\beta<21^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: kąt β jest większy od 19° i mniejszy od 21°.

\[19^\circ<\beta<21^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczenie odwrotne daje β ≈ 20,0015°, co należy do przedziału A. Kąt jest ostry, zgodnie z warunkami trójkąta prostokątnego.

\[\beta=\arctan\left(\frac{91}{250}\right)\approx20{,}0015^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o \(2\pi\) większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy

\(3\)

\(2\pi\)

\(1\)

\(\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Oznaczamy promień przez \(r>0\). Tworząca jest od niego o \(2\) dłuższa.

\[l=r+2\]

2 Obliczenie promienia

Pole boczne stożka wynosi \(\pi rl\), a pole podstawy \(\pi r^2\). Z podanej różnicy pól wyznaczamy \(r\).

\[\pi r(r+2)-\pi r^2=2\pi\;\Longrightarrow\;2\pi r=2\pi\;\Longrightarrow\;r=1\]

Odpowiedź

Promień podstawy wynosi 1. Odpowiedź C.

\[r=1\]

Sprawdzenie

Dla promienia 1 tworząca ma długość 3. Pole boczne wynosi \(3\pi\), a pole podstawy \(\pi\), więc ich różnica to \(2\pi\). Promień jest dodatni.

\[3\pi-\pi=2\pi\]

Zadanie 21

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa \(144\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

\(18\)

\(36\)

\(3\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie objętości

Podstawa jest kwadratem o boku a, więc ma pole a². Wysokość wynosi 2a. Podstawiamy te wartości do wzoru na objętość ostrosłupa.

\[144=\frac{1}{3}a^2\cdot 2a=\frac{2}{3}a^3\]

2 Obliczenie krawędzi podstawy

Mnożymy równanie przez 3/2 i wyciągamy pierwiastek sześcienny. Wybieramy dodatnią długość.

\[a^3=216=6^3,\qquad a=6\]

Odpowiedź

Krawędź podstawy ma długość 6. Odpowiedź D.

\[a=6\]

Sprawdzenie

Dla boku 6 wysokość wynosi 12, czyli jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Objętość wynosi 144.

\[V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 12=144\]

Zadanie 22

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku \(2\). Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup o podstawie kwadratu z zaznaczoną przekątną, kątem 60° i bokami podstawy długości 2

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(4\sqrt{2}\)

\(\frac{\sqrt{6}}{4}\)

\(2\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku 2, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu. W powstałym trójkącie prostokątnym wysokość jest przyprostokątną naprzeciw kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{d},\qquad h=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi 2√6. Odpowiedź D.

\[h=2\sqrt{6}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej wysokości stosunek wysokości do przekątnej podstawy wynosi √3, czyli tangens kąta 60°.

\[\frac{h}{d}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 23

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od \(4\), a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od \(6\), jest

\(4\cdot4\cdot5\cdot5\)

\(5\cdot4\cdot6\cdot5\)

\(5\cdot5\cdot6\cdot6\)

\(4\cdot3\cdot5\cdot4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór dwóch pierwszych cyfr

Cyfra tysięcy i cyfra setek muszą być większe od 4, więc każdą z nich można wybrać na 5 sposobów: od 5 do 9.

\[5\cdot5\]

2 Wybór dwóch pozostałych cyfr

Cyfra dziesiątek i cyfra jedności muszą być mniejsze od 6, więc każdą z nich można wybrać na 6 sposobów: od 0 do 5. Mnożymy liczby możliwości dla kolejnych pozycji.

\[5\cdot5\cdot6\cdot6=900\]

Odpowiedź

Jest 900 takich liczb. Pasuje odpowiedź C.

\[\boxed{5\cdot5\cdot6\cdot6=900}\]

Sprawdzenie

Każda z 900 kombinacji daje liczbę czterocyfrową, bo cyfra tysięcy należy do zbioru od 5 do 9. Pozostałe cyfry spełniają podane ograniczenia, a wybory cyfr są niezależne.

\[5\cdot5\cdot6\cdot6=25\cdot36=900\]

Zadanie 24

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: \(1, 3, 5, 3\), jest liczba

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Wariancję liczymy względem średniej ocen.

\[\overline{x}=\frac{1+3+5+3}{4}=3\]

2 Obliczenie wariancji

Średnia kwadratów odchyleń od średniej wynosi:

\[V=\frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2+(3-3)^2}{4}=\frac{4+0+4+0}{4}=2\]

Odpowiedź

Wariancja wynosi 2. Odpowiedź B.

\[V=2\]

Sprawdzenie

Kontrola innym wzorem: średnia kwadratów ocen wynosi 11, a kwadrat średniej wynosi 9, więc wariancja to 2.

\[\frac{1^2+3^2+5^2+3^2}{4}-3^2=11-9=2\]

Zadanie 25

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W urnie jest \(9\) kul, w tym cztery kule czerwone, trzy zielone i dwie kule białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{4}{9}\)

\(\frac{5}{9}\)

\(\frac{6}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie zdarzenia

Kula, która nie jest ani zielona, ani biała, musi być czerwona. Takich kul są cztery spośród dziewięciu.

\[9-3-2=4\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Przy losowaniu jednej kuli dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników.

\[P=\frac{4}{9}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{4}{9}\). Odpowiedź B.

\[\frac{4}{9}\]

Sprawdzenie

Zielonych i białych kul jest razem pięć, więc z dopełnienia otrzymujemy ten sam wynik.

\[1-\frac{3+2}{9}=\frac{4}{9}\]

Zadanie 26

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż nierówność \((2x+5)(3x-1)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Miejsca zerowe

Wyznaczamy wartości, w których iloczyn może zmienić znak.

\[2x+5=0\Rightarrow x=-\frac52,\qquad 3x-1=0\Rightarrow x=\frac13\]

2 Znaki czynników

Poza miejscami zerowymi sprawdzamy znaki obu czynników. Iloczyn jest nieujemny, gdy mają ten sam znak; uwzględniamy też miejsca zerowe.

\[\begin{aligned}x\leq-\frac52&:\ (2x+5)(3x-1)\geq0,\\-\frac52<x<\frac13&:\ (2x+5)(3x-1)<0,\\x\geq\frac13&:\ (2x+5)(3x-1)\geq0.\end{aligned}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\left[\frac13,\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla x=−3 i x=1 iloczyn jest dodatni, dla x=0 ujemny, a na obu końcach przedziałów równy zeru.

\[x=-3:\ 10>0;\qquad x=0:\ -5<0;\qquad x=1:\ 14>0;\qquad x=-\frac52\ \text{lub}\ x=\frac13:\ 0\geq0\]

Zadanie 27

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dane są liczby \(a=3\log_{2}12-\log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby a

Korzystamy z własności logarytmów, aby połączyć wyrażenia w jeden logarytm.

\[a=\log_{2}\frac{12^3}{27}=\log_{2}64=6\]

2 Obliczenie liczby b

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

\[b=3(\sqrt{6}-\sqrt{7})(\sqrt{6}+\sqrt{7})=3(6-7)=-3\]

3 Obliczenie różnicy

Podstawiamy obliczone wartości.

\[a-b=6-(-3)=9\]

Odpowiedź

Szukana liczba całkowita to 9.

\[9\]

Sprawdzenie

Ponieważ 64 = 2⁶, otrzymujemy a = 6. Ponieważ 6 − 7 = −1, otrzymujemy b = −3, więc różnica wynosi 9.

\[2^6=64,\quad 3(6-7)=-3,\quad 6-(-3)=9\]

Zadanie 28

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a<4\) i \(b<4\), to \(ab+16>4a+4b\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znaki czynników

Z obu założeń wynika, że liczby 4−a i 4−b są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.

\[a<4\Rightarrow 4-a>0,\quad b<4\Rightarrow 4-b>0,\quad (4-a)(4-b)>0\]

2 Rozwiń iloczyn

Rozwinięcie dodatniego iloczynu daje nierówność, którą mamy wykazać.

\[(4-a)(4-b)>0\Rightarrow 16-4a-4b+ab>0\Rightarrow ab+16>4a+4b\]

Odpowiedź

Dla wszystkich liczb rzeczywistych a<4 i b<4 zachodzi podana nierówność.

\[ab+16>4a+4b\]

Sprawdzenie

Różnica lewej i prawej strony wynosi (4−a)(4−b). Oba czynniki są ściśle dodatnie na mocy założeń, zatem różnica jest ściśle dodatnia.

\[(ab+16)-(4a+4b)=(4-a)(4-b)>0\]

Zadanie 29

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Bok \(AB\) jest średnicą, a punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Punkt \(D\) leży na tym okręgu, a odcinek \(SD\) zawarty jest w symetralnej boku \(BC\) trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\).

Okrąg z średnicą AB, trójkątem ABC oraz punktami S i D; zaznaczono odcinki AD i SD.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odległości od B i C

Punkt D leży na symetralnej odcinka BC, więc jest jednakowo odległy od jego końców.

\[DB=DC\]

2 Równe kąty wpisane

Równe cięciwy DB i DC wyznaczają równe łuki. Kąty wpisane oparte na tych łukach mają zatem równe miary.

\[\angle BAD=\angle DAC\]

Odpowiedź

Odcinek AD leży na dwusiecznej kąta CAB.

\[\angle CAD=\angle DAB\]

Sprawdzenie

Na rysunku D leży na łuku BC niezawierającym A, więc AD przebiega wewnątrz kąta CAB. Równe kąty rzeczywiście dzielą go na połowy.

\[\angle CAB=\angle CAD+\angle DAB=2\angle DAB\]

Zadanie 30

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg \( (x+2,\ 4x+2,\ x+11) \). Oblicz te wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych, więc układamy równanie.

\[(4x+2)^2=(x+2)(x+11)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawiasy, przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[16x^2+16x+4=x^2+13x+22\quad\Longleftrightarrow\quad15x^2+3x-18=0\quad\Longleftrightarrow\quad3(5x+6)(x-1)=0\]

3 Wyznaczenie wartości

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z jego czynników jest zerem.

\[5x+6=0\ \text{lub}\ x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac65\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Szukane wartości to x = −6/5 oraz x = 1.

\[x\in\left\{-\frac65,\ 1\right\}\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 otrzymujemy ciąg (3, 6, 12) o ilorazie 2. Dla x = −6/5 otrzymujemy ciąg (4/5, −14/5, 49/5) o ilorazie −7/2. Obie wartości spełniają więc definicję ciągu geometrycznego.

\[\frac63=\frac{12}{6}=2,\qquad\frac{-14/5}{4/5}=\frac{49/5}{-14/5}=-\frac72\]

Zadanie 31

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Prosta \(k\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta jej nachylenia do osi Ox.

\[a=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt6/3}{\sqrt3/3}=\sqrt2\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy prostej k wynosi √2.

\[a=\sqrt2\]

Sprawdzenie

Wynik jest dodatni, zgodnie z ostrym kątem nachylenia. Ponadto obliczona wartość tangensa odpowiada podanemu cosinusowi.

\[\frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

Zadanie 32

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie przekątnej AC

Z obu punktów wyznaczamy prostą zawierającą przekątną AC.

\[\frac{5-(-1)}{7-1}=1,\qquad y+1=x-1,\qquad y=x-2\]

2 Równanie przekątnej BD

Prosta przechodząca przez B i D ma współczynnik kierunkowy równy \(-\frac34\).

\[\frac{4-1}{2-6}=-\frac34,\qquad y-1=-\frac34(x-6),\qquad 3x+4y=22\]

3 Punkt przecięcia

Współrzędne szukanego punktu spełniają oba równania prostych, więc podstawiamy \(y=x-2\).

\[3x+4(x-2)=22\;\Rightarrow\;7x=30\;\Rightarrow\;x=\frac{30}{7},\qquad y=\frac{30}{7}-2=\frac{16}{7}\]

Odpowiedź

Przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych \(\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\).

\[\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt spełnia równania obu prostych. Leży też na obu odcinkach: jego współrzędna \(x\) jest między współrzędnymi \(x\) końców każdej przekątnej.

\[\frac{16}{7}=\frac{30}{7}-2,\qquad 3\cdot\frac{30}{7}+4\cdot\frac{16}{7}=22,\qquad 1<\frac{30}{7}<7,\quad 2<\frac{30}{7}<6\]

Zadanie 33

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich wyników

Każdy z czterech rzutów ma dwa możliwe wyniki, więc wszystkich jednakowo prawdopodobnych ciągów jest 16.

\[2^4=16\]

2 Wyniki z równą liczbą orłów i reszek

Równe liczby oznaczają po dwa orły i dwie reszki. Wybieramy dwa spośród czterech miejsc na orły.

\[\binom{4}{2}=6\]

3 Prawdopodobieństwo zdarzenia A

Od wszystkich wyników odejmujemy te z równą liczbą orłów i reszek, a otrzymaną liczbę dzielimy przez 16.

\[P(A)=\frac{16-6}{16}=\frac{5}{8}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/8.

\[P(A)=\frac{5}{8}\]

Sprawdzenie

Zdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo 6/16 = 3/8. Suma prawdopodobieństw zdarzenia i jego dopełnienia wynosi 1.

\[\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=1\]

Zadanie 34

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt