Zamknięte1 pkt
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(BC\) ma długość \(250\) cm, a przyprostokątna \(AC\) ma długość \(91\) cm. Miara \(\beta\) kąta \(ABC\) spełnia warunek
A
\(19^\circ<\beta<21^\circ\)
B
\(21^\circ<\beta<23^\circ\)
C
\(67^\circ<\beta<69^\circ\)
D
\(69^\circ<\beta<71^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie tangensa
Kąt prosty leży przy C. Dla kąta przy B bok AC jest przeciwległy, a BC przyległy, więc korzystamy z definicji tangensa.
\[\tan\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{91}{250}=0{,}364\]
2 Wyznaczenie przedziału
Tangens rośnie dla kątów ostrych. Porównanie wartości na końcach przedziału pozwala ustalić, gdzie leży kąt β.
\[\tan19^\circ\approx0{,}3443<0{,}364<0{,}3839\approx\tan21^\circ\quad\Longrightarrow\quad19^\circ<\beta<21^\circ\]
Odpowiedź
Odpowiedź A: kąt β jest większy od 19° i mniejszy od 21°.
\[19^\circ<\beta<21^\circ\]
Sprawdzenie
Obliczenie odwrotne daje β ≈ 20,0015°, co należy do przedziału A. Kąt jest ostry, zgodnie z warunkami trójkąta prostokątnego.
\[\beta=\arctan\left(\frac{91}{250}\right)\approx20{,}0015^\circ\]