Otwarte2 pkt
Dany jest trzywyrazowy ciąg \( (x+2,\ 4x+2,\ x+11) \). Oblicz te wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunek ciągu geometrycznego
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych, więc układamy równanie.
\[(4x+2)^2=(x+2)(x+11)\]
2 Rozwiązanie równania
Rozwijamy nawiasy, przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.
\[16x^2+16x+4=x^2+13x+22\quad\Longleftrightarrow\quad15x^2+3x-18=0\quad\Longleftrightarrow\quad3(5x+6)(x-1)=0\]
3 Wyznaczenie wartości
Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z jego czynników jest zerem.
\[5x+6=0\ \text{lub}\ x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac65\ \text{lub}\ x=1\]
Odpowiedź
Szukane wartości to x = −6/5 oraz x = 1.
\[x\in\left\{-\frac65,\ 1\right\}\]
Sprawdzenie
Dla x = 1 otrzymujemy ciąg (3, 6, 12) o ilorazie 2. Dla x = −6/5 otrzymujemy ciąg (4/5, −14/5, 49/5) o ilorazie −7/2. Obie wartości spełniają więc definicję ciągu geometrycznego.
\[\frac63=\frac{12}{6}=2,\qquad\frac{-14/5}{4/5}=\frac{49/5}{-14/5}=-\frac72\]