Otwarte2 pkt
Prosta \(k\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(k\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie sinusa
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus jest dodatni.
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}\]
2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego
Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta jej nachylenia do osi Ox.
\[a=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt6/3}{\sqrt3/3}=\sqrt2\]
Odpowiedź
Współczynnik kierunkowy prostej k wynosi √2.
\[a=\sqrt2\]
Sprawdzenie
Wynik jest dodatni, zgodnie z ostrym kątem nachylenia. Ponadto obliczona wartość tangensa odpowiada podanemu cosinusowi.
\[\frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]