Otwarte4 pkt
Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Równanie przekątnej AC
Z obu punktów wyznaczamy prostą zawierającą przekątną AC.
\[\frac{5-(-1)}{7-1}=1,\qquad y+1=x-1,\qquad y=x-2\]
2 Równanie przekątnej BD
Prosta przechodząca przez B i D ma współczynnik kierunkowy równy \(-\frac34\).
\[\frac{4-1}{2-6}=-\frac34,\qquad y-1=-\frac34(x-6),\qquad 3x+4y=22\]
3 Punkt przecięcia
Współrzędne szukanego punktu spełniają oba równania prostych, więc podstawiamy \(y=x-2\).
\[3x+4(x-2)=22\;\Rightarrow\;7x=30\;\Rightarrow\;x=\frac{30}{7},\qquad y=\frac{30}{7}-2=\frac{16}{7}\]
Odpowiedź
Przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych \(\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\).
\[\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\]
Sprawdzenie
Punkt spełnia równania obu prostych. Leży też na obu odcinkach: jego współrzędna \(x\) jest między współrzędnymi \(x\) końców każdej przekątnej.
\[\frac{16}{7}=\frac{30}{7}-2,\qquad 3\cdot\frac{30}{7}+4\cdot\frac{16}{7}=22,\qquad 1<\frac{30}{7}<7,\quad 2<\frac{30}{7}<6\]