Zamknięte1 pkt
Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych
A
nie ma żadnego rozwiązania.
B
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C
ma dokładnie dwa rozwiązania.
D
ma więcej niż dwa rozwiązania.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Dziedzina
Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy zero.
\[x\in\mathbb{Z},\quad x\ne 0\]
2 Przekształcenie równania
Mnożymy obie strony przez niezerowe \(x\), przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.
\[1-x=2x^2\quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2+x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad(2x-1)(x+1)=0\]
3 Wybór rozwiązania całkowitego
Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem. Spośród otrzymanych liczb tylko \(-1\) jest całkowite.
\[x=\frac12\ \text{lub}\ x=-1;\qquad x\in\mathbb{Z}\ \Longrightarrow\ x=-1\]
Odpowiedź
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie całkowite: −1. Odpowiedź B.
\[x=-1\]
Sprawdzenie
Liczba −1 spełnia warunek dziedziny. Po podstawieniu obie strony równania są równe −2.
\[\frac{1-(-1)}{-1}=-2=2\cdot(-1)\]