Otwarte2 pkt
Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a<4\) i \(b<4\), to \(ab+16>4a+4b\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ustal znaki czynników
Z obu założeń wynika, że liczby 4−a i 4−b są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.
\[a<4\Rightarrow 4-a>0,\quad b<4\Rightarrow 4-b>0,\quad (4-a)(4-b)>0\]
2 Rozwiń iloczyn
Rozwinięcie dodatniego iloczynu daje nierówność, którą mamy wykazać.
\[(4-a)(4-b)>0\Rightarrow 16-4a-4b+ab>0\Rightarrow ab+16>4a+4b\]
Odpowiedź
Dla wszystkich liczb rzeczywistych a<4 i b<4 zachodzi podana nierówność.
\[ab+16>4a+4b\]
Sprawdzenie
Różnica lewej i prawej strony wynosi (4−a)(4−b). Oba czynniki są ściśle dodatnie na mocy założeń, zatem różnica jest ściśle dodatnia.
\[(ab+16)-(4a+4b)=(4-a)(4-b)>0\]