Otwarte2 pkt
Dane są liczby \(a=3\log_{2}12-\log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie liczby a
Korzystamy z własności logarytmów, aby połączyć wyrażenia w jeden logarytm.
\[a=\log_{2}\frac{12^3}{27}=\log_{2}64=6\]
2 Obliczenie liczby b
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów.
\[b=3(\sqrt{6}-\sqrt{7})(\sqrt{6}+\sqrt{7})=3(6-7)=-3\]
3 Obliczenie różnicy
Podstawiamy obliczone wartości.
\[a-b=6-(-3)=9\]
Odpowiedź
Szukana liczba całkowita to 9.
\[9\]
Sprawdzenie
Ponieważ 64 = 2⁶, otrzymujemy a = 6. Ponieważ 6 − 7 = −1, otrzymujemy b = −3, więc różnica wynosi 9.
\[2^6=64,\quad 3(6-7)=-3,\quad 6-(-3)=9\]