Zamknięte1 pkt
Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku \(2\). Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze \(60^\circ\) (zobacz rysunek).
Wysokość tego graniastosłupa jest równa
A
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B
\(4\sqrt{2}\)
C
\(\frac{\sqrt{6}}{4}\)
D
\(2\sqrt{6}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekątna podstawy
Podstawa jest kwadratem o boku 2, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.
\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]
2 Wysokość graniastosłupa
Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu. W powstałym trójkącie prostokątnym wysokość jest przyprostokątną naprzeciw kąta 60°.
\[\tan 60^\circ=\frac{h}{d},\qquad h=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{6}\]
Odpowiedź
Wysokość graniastosłupa wynosi 2√6. Odpowiedź D.
\[h=2\sqrt{6}\quad\text{(D)}\]
Sprawdzenie
Dla obliczonej wysokości stosunek wysokości do przekątnej podstawy wynosi √3, czyli tangens kąta 60°.
\[\frac{h}{d}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]