Zadanie 34 — matura 2020, termin dodatkowy — lipiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym \(ABCDEFS\), którego krawędź podstawy \(a\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha=60^\circ\). Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFS z oznaczonym środkiem podstawy P i krawędzią a=8.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Promień i apotema podstawy

W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego jest równy bokowi, a apotema ma długość \(a\sqrt{3}/2\). Niech \(M\) będzie środkiem boku \(BC\).

\[PB=a=8,\qquad PM=\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\]

2 Wysokość ostrosłupa

Przekrój przez \(S\), \(P\) i \(M\) wyznacza kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy. W trójkącie prostokątnym \(SPM\) korzystamy z tangensa tego kąta.

\[\tan 60^\circ=\frac{SP}{PM},\qquad SP=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12\]

3 Cosinus szukanego kąta

Rzutem krawędzi \(SB\) na podstawę jest \(PB\). Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy \(SB\), a następnie cosinus kąta między \(SB\) i \(PB\).

\[SB=\sqrt{SP^2+PB^2}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13},\qquad \cos\beta=\frac{PB}{SB}=\frac{8}{4\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy wynosi \(\frac{2\sqrt{13}}{13}\).

\[\cos\beta=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej wysokości stosunek \(SP/PM\) wynosi \(\sqrt{3}\), więc kąt nachylenia ściany rzeczywiście ma \(60^\circ\). Ponadto \(SB^2=SP^2+PB^2\).

\[\frac{12}{4\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan60^\circ,\qquad (4\sqrt{13})^2=12^2+8^2=208\]