Matematyka — matura 2018

Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

Dane są liczby: \(a=\log_{\frac{1}{2}}8\), \(b=\log_4 8\), \(c=\log_4\frac{1}{2}\). Liczby te spełniają warunek

Wskaż liczbę spełniającą nierówność \((4-x)(x+3)(x+4)>0\).

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.

Stąd wynika, że

Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)

Liczbę \(\frac{224}{1111}\) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

Liczba \(\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}\) jest równa

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq -2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle\) jest

Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x)=-(x-1)(3-x)\). Wskaż ten rysunek.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\) określonego dla \(n\geq 1\) są dodatnie i \(3a_2=2a_3\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

Liczba \(1-\operatorname{tg}40^\circ\) jest

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(AOC\) jest równe

Okrąg o środku \(S_1=(2,1)\) i promieniu \(r\) oraz okrąg o środku \(S_2=(5,5)\) i promieniu \(4\) są styczne zewnętrznie. Wtedy

Długości boków trapezu równoramiennego są równe \(12\), \(13\), \(2\), \(13\).

Wysokość \(h\) tego trapezu jest równa

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku \(2:3:3:4\). Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa \(27\pi\). Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x<0\).

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Na boku \(CD\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=2|DE|\), a na boku \(AB\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|BF|=|DE|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(EF\) z prostą \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla liczb naturalnych \(n\geq 1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.