Zamknięte1 pkt
Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy
A
\(\frac{4}{3}\)
B
\(12\)
C
\(\sqrt{17}\)
D
\(4\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wysokości stożka
Przyrównujemy objętości stożka i kuli o tym samym promieniu. Ponieważ promień jest dodatni, możemy skrócić przez \(\pi r^2\).
\[\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{4}{3}\pi r^3\quad\Rightarrow\quad h=4r\]
2 Obliczenie tangensa
Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy jest kątem między tworzącą a jej rzutem na podstawę. W przekroju osiowym jego tangens to stosunek wysokości do promienia.
\[\tan\alpha=\frac{h}{r}=\frac{4r}{r}=4\]
Odpowiedź
Odpowiedź D: tangens kąta wynosi 4.
\[\tan\alpha=4\]
Sprawdzenie
Dla wysokości \(h=4r\) objętość stożka wynosi \(\frac{4}{3}\pi r^3\), czyli tyle samo co objętość kuli. Warunek \(r>0\) pozwala obliczyć iloraz \(h/r\).
\[V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot4r=\frac{4}{3}\pi r^3=V_{\text{kuli}}\]