Zamknięte1 pkt
Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek).
Pole trójkąta \(AOC\) jest równe
A
\(\frac{1}{2}r^2\)
B
\(\frac{1}{4}r^2\)
C
\(\frac{\pi}{4}r^2\)
D
\(\frac{\sqrt{3}}{4}r^2\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie kąta
Odcinki OB i OC są promieniami, a z treści zadania BC ma tę samą długość. Trójkąt OBC jest więc równoboczny. Ponieważ AB jest średnicą, kąty BOC i AOC sumują się do 180°.
\[|OB|=|OC|=|BC|=r,\quad \angle BOC=60^\circ,\quad \angle AOC=120^\circ\]
2 Obliczenie pola
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.
\[P_{AOC}=\frac12|OA|\cdot|OC|\sin\angle AOC=\frac12r^2\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}r^2\]
Odpowiedź
Pole trójkąta AOC wynosi \(\frac{\sqrt3}{4}r^2\). Odpowiedź D.
\[\boxed{D.\ \frac{\sqrt3}{4}r^2}\]
Sprawdzenie
Kąt AOC jest rozwarty, lecz jego sinus jest dodatni i równy \(\frac{\sqrt3}{2}\), więc obliczone pole jest dodatnie i ma jednostkę pola.
\[\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\]