Otwarte2 pkt
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie iloczynu
Podnosimy daną równość do kwadratu i korzystamy z jedynki trygonometrycznej.
\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2\;\Longrightarrow\;1+2\sin\alpha\cos\alpha=2\;\Longrightarrow\;\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\]
2 Obliczenie wyrażenia
Kąt jest ostry, więc sinus i cosinus są niezerowe. Zapisujemy tangens i jego odwrotność jako ilorazy.
\[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac1{\frac12}=2\]
Odpowiedź
Wartość wyrażenia wynosi 2.
\[2\]
Sprawdzenie
Dla ostrego kąta 45° suma sinusa i cosinusa wynosi √2, a tangens jest równy 1. Otrzymujemy 1+1=2.
\[\sin45^\circ+\cos45^\circ=\sqrt2,\qquad \operatorname{tg}45^\circ+\frac1{\operatorname{tg}45^\circ}=1+1=2\]