Zadanie 29 — matura 2018, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Na boku \(CD\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=2|DE|\), a na boku \(AB\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|BF|=|DE|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(EF\) z prostą \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.

Prostokąt ABCD z punktami E na boku CD i F na boku AB oraz punktem P na przedłużeniu BC; odcinki AE i EP.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie odcinków

Z warunków zadania wyrażamy EC i BF przez długość DE.

\[EC=2DE,\qquad BF=DE,\qquad \frac{EC}{BF}=2\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty ECP i FBP mają kąty proste przy C i B oraz jednakowe kąty przy P, więc są podobne.

\[\frac{CP}{BP}=\frac{EC}{BF}=2\]

3 Wyznaczenie BP

P leży na przedłużeniu BC, zatem CP=CB+BP. W prostokącie BC=AD.

\[CB+BP=2BP\quad\Longrightarrow\quad BP=CB=AD\]

4 Dowód przystawania

Trójkąty AED i PFB mają równe odpowiednie boki przy kątach prostych. Z cechy bok–kąt–bok są przystające; odpowiadają sobie wierzchołki A i P, E i F oraz D i B.

\[AD=PB,\qquad DE=BF,\qquad \angle ADE=\angle PBF=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad\triangle AED\cong\triangle PFB\]

Odpowiedź

Trójkąty AED i FPB są przystające. Przy zapisie uwzględniającym kolejność odpowiadających sobie wierzchołków: AED ≅ PFB.

\[\triangle AED\cong\triangle PFB\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wynika też równość odpowiadających sobie przeciwprostokątnych AE i PF, zgodna z ustalonym przyporządkowaniem.

\[AE^2=AD^2+DE^2=PB^2+BF^2=PF^2\quad\Longrightarrow\quad AE=PF\]