Otwarte2 pkt
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie sumy
Oznaczamy kolejne liczby przez n, n+1, n+2, n+3 i rozwijamy ich kwadraty.
\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2=4n(n+3)+14\]
2 Ustalenie podzielności
Liczby n i n+3 mają różną parzystość, więc ich iloczyn jest parzysty. Zatem 4n(n+3) jest podzielne przez 8.
\[n(n+3)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{Z}\]
3 Wyznaczenie reszty
Podstawiamy 2k za iloczyn i zapisujemy sumę jako wielokrotność 8 powiększoną o 6.
\[4n(n+3)+14=8k+14=8(k+1)+6\]
Odpowiedź
Reszta z dzielenia sumy przez 8 wynosi 6.
\[r=6\]
Sprawdzenie
Liczba k+1 jest całkowita, a 6 należy do przedziału od 0 do 7, więc otrzymany zapis jest poprawnym dzieleniem z resztą przez 8.
\[0\leq 6<8\]