Otwarte4 pkt
Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie współrzędnych punktu B
Ponieważ B leży na prostej zawierającej podstawę AB, jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.
\[B=\left(x,\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\right)\]
2 Wykorzystanie równości ramion
Warunek |AC|=|BC| pozwala wyznaczyć x ze wzoru na odległość punktów. Odrzucamy rozwiązanie odpowiadające punktowi A, ponieważ wierzchołki trójkąta są różne.
\[|AC|^2=2^2+8^2=68,\quad (x-1)^2+\left(\frac{x}{2}-\frac{15}{2}\right)^2=68\quad\Longrightarrow\quad 5x^2-38x-43=(x+1)(5x-43)=0.\quad x=-1\ (B=A)\ \text{lub}\ x=\frac{43}{5}.\]
3 Obliczenie drugiej współrzędnej
Podstawiamy dopuszczalną wartość x do równania prostej.
\[y=\frac{1}{2}\cdot\frac{43}{5}+\frac{3}{2}=\frac{29}{5}.\]
Odpowiedź
Wierzchołek B ma współrzędne (43/5, 29/5).
\[B=\left(\frac{43}{5},\frac{29}{5}\right)\]
Sprawdzenie
Punkt B leży na podanej prostej, jest różny od A, a kwadraty długości ramion AC i BC są równe 68.
\[\frac{1}{2}\cdot\frac{43}{5}+\frac{3}{2}=\frac{29}{5},\qquad |BC|^2=\left(\frac{38}{5}\right)^2+\left(-\frac{16}{5}\right)^2=68=|AC|^2.\]