Zadanie 33 — matura 2018, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla liczb naturalnych \(n\geq 1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek dotyczący wyrazów

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy \(d\). Zapisujemy więc zależność między wyrazem szóstym i piątym.

\[a_1+5d=2(a_1+4d)\quad\Longrightarrow\quad a_1=-3d\]

2 Suma dziesięciu wyrazów

Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i podstawiamy \(a_1=-3d\).

\[S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+9d)=5(-6d+9d)=15d=\frac{15}{4}\]

3 Obliczenie niewiadomych

Dzielimy równanie przez 15, a następnie obliczamy pierwszy wyraz.

\[d=\frac14,\qquad a_1=-3\cdot\frac14=-\frac34\]

Odpowiedź

Wyraz pierwszy wynosi \(-\frac34\), a różnica ciągu wynosi \(\frac14\).

\[a_1=-\frac34,\qquad d=\frac14\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wartości wyraz piąty to \(\frac14\), a szósty to \(\frac12\), więc warunek podwojenia jest spełniony. Suma dziesięciu wyrazów również ma wymaganą wartość.

\[a_5=-\frac34+4\cdot\frac14=\frac14,\quad a_6=-\frac34+5\cdot\frac14=\frac12=2a_5,\quad S_{10}=5\left(2\cdot\left(-\frac34\right)+9\cdot\frac14\right)=\frac{15}{4}\]