Zadanie 32 — matura 2018, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przekątnej podstawy

Wierzchołek ostrosłupa rzutuje się na środek O kwadratu. Rzutem krawędzi bocznej SA na podstawę jest OA, więc w trójkącie prostokątnym SOA korzystamy z definicji cosinusa i twierdzenia Pitagorasa.

\[\frac{OA}{SA}=\frac35,\qquad OA^2+16^2=SA^2\quad\Longrightarrow\quad SA=20,\ OA=12\]

2 Obliczenie wysokości ściany bocznej

Odcinek OA jest połową przekątnej kwadratu, zatem wyznaczamy bok a. Jeśli M jest środkiem boku podstawy, to SM jest wysokością ściany bocznej; obliczamy ją z trójkąta prostokątnego SOM.

\[a\sqrt2=2OA=24\quad\Longrightarrow\quad a=12\sqrt2,\qquad SM=\sqrt{16^2+\left(\frac a2\right)^2}=2\sqrt{82}\]

3 Obliczenie pola bocznego

Cztery jednakowe ściany boczne są trójkątami o podstawie a i wysokości SM.

\[P_b=4\cdot\frac{a\cdot SM}{2}=2\cdot12\sqrt2\cdot2\sqrt{82}=96\sqrt{41}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej wynosi \(96\sqrt{41}\).

\[P_b=96\sqrt{41}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają warunek kąta, bo \(OA/SA=12/20=3/5\). Ponadto \(SM^2=16^2+(6\sqrt2)^2=328\), więc użyta wysokość ściany jest poprawna.

\[\frac{OA}{SA}=\frac{12}{20}=\frac35,\qquad SM^2=256+72=328\]