Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x<0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Uproszczenie nierówności
Usuwamy nawiasy i mnożymy nierówność przez −1, zmieniając jej zwrot.
\[2x(1-x)+1-x<0\iff -2x^2+x+1<0\iff 2x^2-x-1>0\]
2 Rozkład na czynniki
Rozkład pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i zbadać znak wyrażenia.
\[2x^2-x-1=(2x+1)(x-1),\qquad x=-\frac12\ \text{lub}\ x=1\]
3 Wyznaczenie rozwiązania
Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak. Miejsc zerowych nie włączamy, ponieważ nierówność jest ostra.
\[(2x+1)(x-1)>0\iff x<-\frac12\ \text{lub}\ x>1\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.
\[x\in\left(-\infty,-\frac12\right)\cup(1,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla liczb z obu wskazanych przedziałów wyrażenie po lewej stronie jest ujemne: dla −1 wynosi −2, a dla 2 wynosi −5. Dla 0, leżącego między miejscami zerowymi, wynosi 1. Na obu końcach przedziałów wynosi 0, więc końce są wykluczone.
\[f(-1)=-2<0,\quad f(0)=1>0,\quad f(2)=-5<0,\quad f\!\left(-\frac12\right)=f(1)=0\]