Zamknięte1 pkt
Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)
A
ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
B
ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
C
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
D
nie ma rozwiązań.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Dziedzina
Mianownik nie może być równy zeru.
\[2x+1\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne-\frac12\]
2 Usunięcie mianownika
Dla liczb z dziedziny mnożymy obie strony równania przez \(2x+1\), aby otrzymać równanie kwadratowe.
\[x-\frac{1}{2x+1}=0\quad\Longleftrightarrow\quad x(2x+1)=1\quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2+x-1=0\]
3 Wyznaczenie pierwiastków
Rozkładamy trójmian na czynniki i korzystamy z zasady zerowego iloczynu.
\[2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac12\ \text{lub}\ x=-1\]
Odpowiedź
Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: \(x=\frac12\) i \(x=-1\). Odpowiedź A.
\[x\in\left\{-1,\frac12\right\},\quad \mathrm{A}\]
Sprawdzenie
Obie liczby należą do dziedziny. Po podstawieniu do pierwotnego równania w obu przypadkach otrzymujemy zero.
\[\frac12-\frac{1}{2\cdot\frac12+1}=0,\qquad -1-\frac{1}{2\cdot(-1)+1}=0\]