Matematyka — matura 2016

Liczba \(\frac{7^{6}\cdot 6^{7}}{42^{6}}\) jest równa

Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką

Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa

Różnica \(50001^{2}-49999^{2}\) jest równa

Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa

Wartość wyrażenia \(\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}\) jest równa

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania \((x-8)(x^{2}-4)(x^{2}+16)=0\), wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa

Rozwiązaniem równania \(\frac{x-7}{x}=5\), gdzie \(x\neq 0\), jest liczba należąca do przedziału

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^{3}}{x^{4}+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=−2(x+5)(x−11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=6(n-16)\) dla \(n\geqslant 1\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1=72\) i \(a_4=9\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

Dany jest trapez \(ABCD\), w którym przekątna \(AC\) jest prostopadła do ramienia \(BC\), \(|AD|=|DC|\) oraz \(|\angle ABC|=50^\circ\) (zobacz rysunek).

Stąd wynika, że

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów \(\alpha\) i \(\beta\) są odpowiednio równe

Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę \(150^\circ\). Pole tego trójkąta jest równe

Prosta określona wzorem \(y=ax+1\) jest symetralną odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-3,2)\) i \(B=(1,4)\). Wynika stąd, że

Układ równań \(\begin{cases}y=-ax+2a\\y=\frac{b}{3}x-2\end{cases}\) nie ma rozwiązań dla

Do pewnej liczby \(a\) dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby \(a\). Zatem

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy

Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x-1\), \(3x\), \(5x+1\) i \(7x\) jest równa 72. Wynika stąd, że

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.

Zatem

Dane są dwie sumy algebraiczne \(3x^3-2x\) oraz \(-3x^2-2\). Iloczyn tych sum jest równy

Punkty \(D\) i \(E\) są środkami przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\). Punkty \(F\) i \(G\) leżą na przeciwprostokątnej \(AB\) tak, że odcinki \(DF\) i \(EG\) są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(BGE\) jest równe 1, a pole trójkąta \(AFD\) jest równe 4.

Zatem pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x\neq -1\) i \(x\neq 0\).

Dane są proste o równaniach \(y=x+2\) oraz \(y=-3x+b\), które przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi \(Ox\).

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \[x^4+y^4+x^2+y^2\geq 2(x^3+y^3).\]

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) oraz wysokości \(AD\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina ramię \(AD\) w punkcie \(E\) oraz dwusieczną kąta \(BCD\) w punkcie \(F\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że w czworokącie \(CDEF\) sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha=\angle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta \(ADE\).

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha=\angle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole czworokąta \(BCED\).

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a_5+a_6+a_7+\ldots+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).

Dany jest stożek o objętości \(8\pi\), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?