Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \[x^4+y^4+x^2+y^2\geq 2(x^3+y^3).\]
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby wykazać nierówność, wystarczy pokazać, że różnica jej stron jest nieujemna.
\[x^4+y^4+x^2+y^2-2(x^3+y^3)=x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\]
2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów
Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy. Każdy otrzymany składnik jest nieujemny dla liczb rzeczywistych.
\[x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2=x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x,y\). Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy \(x,y\in\{0,1\}\).
\[x^4+y^4+x^2+y^2\geq 2(x^3+y^3)\]
Sprawdzenie
Suma dwóch nieujemnych składników jest równa zeru dokładnie wtedy, gdy oba są zerowe. Daje to \(x\in\{0,1\}\) oraz \(y\in\{0,1\}\), zgodnie z podanym warunkiem równości.
\[x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2=0\iff x,y\in\{0,1\}\]