Zadanie 29 — matura 2016, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) oraz wysokości \(AD\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina ramię \(AD\) w punkcie \(E\) oraz dwusieczną kąta \(BCD\) w punkcie \(F\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że w czworokącie \(CDEF\) sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Trapez prostokątny ABCD z punktami E na ramieniu AD i F na przecięciu dwusiecznych kątów ABC oraz BCD.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty przy ramieniu BC

Podstawy trapezu są równoległe, więc kąty przy ramieniu BC sumują się do 180°. Oznaczamy kąt ABC przez β.

\[\angle ABC=\beta,\qquad \angle BCD=180^\circ-\beta\]

2 Kąty przy D i F

Wysokość AD jest prostopadła do CD, zatem kąt przy D jest prosty. W trójkącie BCF kąty przy B i C są połowami kątów trapezu. Punkty E, F i B leżą na jednej prostej, więc kąty BFC i CFE są przyległe.

\[\angle CDE=90^\circ,\qquad \angle BFC=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ,\qquad \angle CFE=180^\circ-\angle BFC=90^\circ\]

3 Kąty przy C i E

Dwusieczna przy C wyznacza kąt DCF. W trójkącie ABE obliczamy kąt AEB; kąty AEB i DEF są przyległe.

\[\angle DCF=\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ-\frac{\beta}{2},\qquad \angle AEB=90^\circ-\frac{\beta}{2},\qquad \angle DEF=180^\circ-\angle AEB=90^\circ+\frac{\beta}{2}\]

Odpowiedź

Obie sumy miar przeciwległych kątów czworokąta CDEF są równe 180°.

\[\angle CDE+\angle CFE=\angle DCF+\angle DEF=180^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty przy D i F dają łącznie 180°, a wyrazy z β w sumie kątów przy C i E się znoszą. Otrzymane cztery kąty sumują się do 360°.

\[90^\circ+90^\circ=180^\circ,\qquad \left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)+\left(90^\circ+\frac{\beta}{2}\right)=180^\circ\]