Zadanie 30.1 — matura 2016, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha=\angle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta \(ADE\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC, odcinkiem DE oraz kątem α przy wierzchołku A.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AD i AE

Podane stosunki dzielą boki AB i AC odpowiednio na trzy równe części.

\[|AD|=\frac{|AB|}{3}=5,\qquad |AE|=\frac{2|AC|}{3}=8\]

2 Obliczenie sinusa kąta α

Kąt α jest kątem trójkąta, więc jego sinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35\]

3 Obliczenie pola

Boki AD i AE tworzą kąt α, dlatego stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{ADE}=\frac12|AD|\cdot|AE|\sin\alpha=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac35=12\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ADE wynosi 12 jednostek kwadratowych.

\[P_{ADE}=12\]

Sprawdzenie

Pole ABC wynosi 54, a boki AD i AE stanowią odpowiednio jedną trzecią i dwie trzecie boków AB i AC. Pole ADE stanowi więc dwie dziewiąte pola ABC, czyli 12.

\[P_{ABC}=\frac12\cdot15\cdot12\cdot\frac35=54,\qquad \frac13\cdot\frac23\cdot54=12\]