Zadanie 30.2 — matura 2016, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha=\angle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole czworokąta \(BCED\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC oraz odcinkiem DE; kąt BAC oznaczono jako α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinków AD i AE

Korzystamy z podanych proporcji oraz długości boków trójkąta.

\[|AB|=|AD|+|BD|=3|AD|\Rightarrow |AD|=5,\qquad |AC|=|AE|+|CE|=\frac32|AE|\Rightarrow |AE|=8\]

2 Obliczenie sinusa kąta α

Kąt α jest kątem trójkąta, więc jego sinus jest dodatni. Stosujemy tożsamość trygonometryczną.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35\]

3 Obliczenie pola czworokąta

Odejmujemy pole trójkąta ADE od pola trójkąta ABC. Oba pola obliczamy ze wzoru na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{BCED}=\frac12\cdot15\cdot12\cdot\frac35-\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac35=54-12=42\]

Odpowiedź

Pole czworokąta BCED wynosi 42.

\[P_{BCED}=42\]

Sprawdzenie

Trójkąty ADE i ABC mają wspólny kąt α, a stosunki boków przy tym kącie wynoszą 1/3 i 2/3. Zatem pole ADE stanowi 2/9 pola ABC, czyli 12; po odjęciu od 54 otrzymujemy 42.

\[\frac{P_{ADE}}{P_{ABC}}=\frac5{15}\cdot\frac8{12}=\frac29,\qquad 54\left(1-\frac29\right)=42\]