Zadanie 31 — matura 2016, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a_5+a_6+a_7+\ldots+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sum

W ciągu arytmetycznym \(a_n=a_1+(n-1)d\). Podstawiamy ten wzór do obu podanych sum.

\[4a_1+6d=2016,\qquad 8a_1+60d=2016\]

2 Wyznaczenie różnicy

Podwajamy pierwsze równanie i odejmujemy je od drugiego, aby usunąć \(a_1\).

\[48d=2016-4032=-2016,\qquad d=-42\]

3 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Podstawiamy różnicę do pierwszego równania.

\[4a_1+6\cdot(-42)=2016,\qquad a_1=567\]

4 Najmniejszy dodatni wyraz

Ciąg maleje, więc szukamy ostatniego wyrazu dodatniego.

\[a_n=567-42(n-1)=609-42n,\qquad a_{14}=21>0,\quad a_{15}=-21<0\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz to 567, różnica wynosi −42, a najmniejszy dodatni wyraz to 21.

\[a_1=567,\qquad d=-42,\qquad a_{14}=21\]

Sprawdzenie

Pierwsze cztery wyrazy dają sumę 2016. Wyrazy od piątego do dwunastego tworzą osiem wyrazów o sumie 2016. Ponieważ różnica jest ujemna, po dodatnim wyrazie 21 następuje wyraz ujemny −21.

\[567+525+483+441=2016,\qquad \frac{8(399+105)}{2}=2016,\qquad a_{14}=21>0>a_{15}=-21\]