Otwarte4 pkt
Dany jest stożek o objętości \(8\pi\), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wymiarów
Zapisujemy wysokość i promień zgodnie z podanym stosunkiem, a następnie podstawiamy je do wzoru na objętość stożka.
\[h=3k,\quad r=8k,\quad \frac13\pi r^2h=8\pi\;\Longrightarrow\;64\pi k^3=8\pi\;\Longrightarrow\;k=\frac12\]
2 Obliczenie tworzącej
Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[h=\frac32,\quad r=4,\quad l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{16+\frac94}=\frac{\sqrt{73}}2\]
3 Obliczenie pola powierzchni bocznej
Podstawiamy promień i tworzącą do wzoru na pole powierzchni bocznej stożka.
\[P_b=\pi rl=\pi\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}2=2\pi\sqrt{73}\]
Odpowiedź
Pole powierzchni bocznej stożka wynosi \(2\pi\sqrt{73}\).
\[P_b=2\pi\sqrt{73}\]
Sprawdzenie
Otrzymane wymiary dają objętość \(8\pi\), a stosunek wysokości do promienia wynosi \(3:8\).
\[\frac13\pi\cdot4^2\cdot\frac32=8\pi,\qquad \frac32:4=3:8\]