Zadanie 27 — matura 2016, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dane są proste o równaniach \(y=x+2\) oraz \(y=-3x+b\), które przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi \(Ox\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie parametru

Punkt przecięcia leży na osi Oy, więc ma pierwszą współrzędną równą 0. Obie proste mają w nim tę samą drugą współrzędną.

\[0+2=-3\cdot 0+b\quad\Rightarrow\quad b=2\]

2 Wyznaczenie wierzchołków na osi Ox

Punkty przecięcia prostych z osią Ox otrzymujemy, przyjmując y=0.

\[0=x+2\Rightarrow x=-2,\qquad 0=-3x+2\Rightarrow x=\frac{2}{3}\]

3 Obliczenie pola

Podstawa trójkąta leży na osi Ox i ma długość równą różnicy współrzędnych jej końców. Wysokość jest odległością punktu (0,2) od osi Ox.

\[a=\frac{2}{3}-(-2)=\frac{8}{3},\qquad h=2,\qquad P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot2=\frac{8}{3}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi \(\frac{8}{3}\) jednostek kwadratowych.

\[P=\frac{8}{3}\]

Sprawdzenie

Dla b=2 obie proste przechodzą przez punkt (0,2). Ich punkty przecięcia z osią Ox to (-2,0) i (2/3,0), więc długości podstawy i wysokości użyte we wzorze na pole są poprawne.

\[-2+2=0,\qquad -3\cdot\frac{2}{3}+2=0\]