Zamknięte1 pkt
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa
A
\(45^\circ\)
B
\(30^\circ\)
C
\(75^\circ\)
D
\(90^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie długości krawędzi
Oznaczamy bok kwadratu przez \(a\). Ponieważ ściany boczne są trójkątami równobocznymi, krawędzie \(SA\) i \(SC\) też mają długość \(a\).
\[AB=BC=SA=SC=a\]
2 Obliczenie przekątnej podstawy
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną \(AC\).
\[AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2\]
3 Wyznaczenie kąta
W trójkącie \(ASC\) zachodzi \(SA^2+SC^2=AC^2\). Z odwrotnego twierdzenia Pitagorasa kąt przy \(S\) jest prosty.
\[SA^2+SC^2=a^2+a^2=2a^2=AC^2\quad\Rightarrow\quad\angle ASC=90^\circ\]
Odpowiedź
Kąt ASC ma miarę 90°. Odpowiedź D.
\[\angle ASC=90^\circ\]
Sprawdzenie
Bok leżący naprzeciw kąta ASC ma kwadrat długości równy sumie kwadratów pozostałych boków trójkąta ASC, co potwierdza wynik.
\[AC^2=2a^2=SA^2+SC^2\]