Zamknięte1 pkt
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów \(\alpha\) i \(\beta\) są odpowiednio równe
A
\(\alpha=36^\circ,\ \beta=72^\circ\)
B
\(\alpha=54^\circ,\ \beta=72^\circ\)
C
\(\alpha=36^\circ,\ \beta=108^\circ\)
D
\(\alpha=72^\circ,\ \beta=72^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie kąta α
Kąt środkowy α i kąt wpisany DAC są oparte na tym samym łuku DC, więc kąt środkowy jest dwa razy większy.
\[\alpha=2\angle DAC=2\cdot36^\circ=72^\circ\]
2 Obliczenie kąta β
W trójkącie ADC wyznaczamy kąt przy D. Jest on przeciwległy do kąta β w czworokącie wpisanym w okrąg, więc ich suma wynosi 180°.
\[\angle ADC=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ,\qquad\beta=180^\circ-108^\circ=72^\circ\]
Odpowiedź
Poprawna odpowiedź: D.
\[\alpha=72^\circ,\qquad\beta=72^\circ\]
Sprawdzenie
Kąt ACD wyznacza łuk AD o mierze 72°, a kąt DAC łuk DC o mierze 72°. Kąt β opiera się na łuku ADC o mierze 144°, więc rzeczywiście ma 72°.
\[\beta=\frac{72^\circ+72^\circ}{2}=72^\circ\]