Zadanie 25 — matura 2016, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Punkty \(D\) i \(E\) są środkami przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\). Punkty \(F\) i \(G\) leżą na przeciwprostokątnej \(AB\) tak, że odcinki \(DF\) i \(EG\) są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(BGE\) jest równe 1, a pole trójkąta \(AFD\) jest równe 4.

Zatem pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C. D i E leżą odpowiednio na AC i BC, a F i G na przeciwprostokątnej AB. Odcinki DF i EG są prostopadłe do AB.

\(12\)

\(16\)

\(18\)

\(20\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty BGE i AFD są prostokątne i mają odpowiednio wspólne kąty przy B i A z trójkątem ABC. Ponieważ E i D są środkami przyprostokątnych, stosunki ich przeciwprostokątnych do AB wynoszą odpowiednio BC/(2AB) i AC/(2AB). Pola trójkątów podobnych są proporcjonalne do kwadratów tych stosunków.

\[1=P_{ABC}\frac{BC^2}{4AB^2},\qquad 4=P_{ABC}\frac{AC^2}{4AB^2}\]

2 Wyznaczenie stosunku boków

Dzielimy drugą równość przez pierwszą, aby usunąć nieznane pole i długość przeciwprostokątnej.

\[4=\frac{AC^2}{BC^2},\qquad AC^2=4BC^2\]

3 Obliczenie pola

Z twierdzenia Pitagorasa wynika AB²=AC²+BC²=5BC². Podstawiamy to do wzoru na pole trójkąta BGE.

\[1=P_{ABC}\frac{BC^2}{4\cdot5BC^2}=\frac{P_{ABC}}{20},\qquad P_{ABC}=20\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABC wynosi 20. Odpowiedź D.

\[P_{ABC}=20\]

Sprawdzenie

Dla AC²=4BC² i AB²=5BC² otrzymujemy pole BGE równe 20·1/20=1 oraz pole AFD równe 20·4/20=4. Obie wartości zgadzają się z danymi.

\[P_{BGE}=20\cdot\frac{1}{20}=1,\qquad P_{AFD}=20\cdot\frac{4}{20}=4\]