Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2023

Poziom podstawowySierpieńFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 36 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

36 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5$ jest równa

$-\frac{1}{4}$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Ponieważ każda dodatnia podstawa podniesiona do potęgi zerowej daje 1, a $25^{1/2}=5$, otrzymujemy wartości obu logarytmów.

\[\log_{25}1=0,\qquad \log_{25}5=\frac{1}{2}\]

2 Podstawienie wartości

Podstawiamy obliczone wartości do wyrażenia i wykonujemy mnożenie.

\[\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5=0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-\frac{1}{4}\]

Sprawdzenie

Kontrola: własność logarytmów daje logarytm z odwrotności pierwiastka z 5. Ponieważ $25^{-1/4}=1/\sqrt{5}$, jego wartość wynosi $-1/4$.

\[\log_{25}\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\log_{25}\!\left(25^{-1/4}\right)=-\frac{1}{4}\]

Zadanie 2

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $3\sqrt{45}-\sqrt{20}$ jest równa

$(7\cdot5)^{\frac{1}{2}}$

$5^{\frac{1}{2}}$

$7$

$7\cdot5^{\frac{1}{2}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy przed pierwiastek czynniki będące kwadratami liczb całkowitych.

\[\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5\]

2 Redukcja wyrazów podobnych

Oba wyrazy zawierają $\sqrt5$, więc odejmujemy ich współczynniki.

\[3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot3\sqrt5-2\sqrt5=7\sqrt5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[7\sqrt5=7\cdot5^{\frac12}\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi D wykładnik $\frac12$ oznacza pierwiastek kwadratowy, więc podany tam zapis jest równy otrzymanemu wynikowi.

\[7\cdot5^{\frac12}=7\sqrt5\]

Zadanie 3

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

W ramach wyprzedaży sezonowej płaszcz o początkowej wartości $240$ zł przeceniono na $200$ zł. Zatem cenę tego płaszcza obniżono o

$16\frac{2}{3}\%$ jego początkowej wartości.

$20\%$ jego początkowej wartości.

$40\%$ jego początkowej wartości.

$83\frac{1}{3}\%$ jego początkowej wartości.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwoty obniżki

Odejmujemy cenę po przecenie od ceny początkowej.

\[240\text{ zł}-200\text{ zł}=40\text{ zł}\]

2 Obliczenie procentu

Dzielimy kwotę obniżki przez cenę początkową, ponieważ pytanie dotyczy procentu początkowej wartości.

\[\frac{40}{240}\cdot100\%=\frac{1}{6}\cdot100\%=16\frac{2}{3}\%\]

Odpowiedź

Cenę obniżono o 16⅔% jej początkowej wartości. Odpowiedź A.

\[16\frac{2}{3}\%\quad\text{A}\]

Sprawdzenie

Jedna szósta z 240 zł to 40 zł, więc po obniżce cena wynosi 200 zł.

\[240\text{ zł}-\frac{1}{6}\cdot240\text{ zł}=200\text{ zł}\]

Zadanie 4

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 81$ jest równa

$\frac{1}{3}$

$\left(-\frac{1}{3}\right)$

$3$

$(-3)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność liczby, a parzysty wykładnik usuwa znak minus.

\[3^{-1}=\frac{1}{3},\qquad \left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}=(-9)^2=81\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczone potęgi i skracamy przez 81.

\[\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot81=\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest równy 81, więc jest różny od zera. Skrócenie przez 81 jest poprawne i daje jedną trzecią.

\[\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}\]

Zadanie 5

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $(2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2$ jest równa

$(-2\sqrt{3})$

$0$

$6$

$8\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie składników

Liczby w nawiasach są przeciwne, więc ich kwadraty są równe.

\[\sqrt{3}-2=-(2-\sqrt{3}),\qquad (\sqrt{3}-2)^2=(2-\sqrt{3})^2\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy od siebie dwa równe kwadraty.

\[(2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2=0\]

Odpowiedź

Wynik to 0, odpowiedź B.

\[0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu oba kwadraty wynoszą 7−4√3, więc ich różnica rzeczywiście jest równa 0.

\[(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3},\qquad (\sqrt{3}-2)^2=7-4\sqrt{3}\]

Zadanie 6

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych $(x,y)$, punkt $(-8,6)$ jest punktem przecięcia prostych o równaniach

$2x+3y=2$ i $-x+y=-14$.

$3x+2y=-12$ i $2x+y=10$.

$x+y=-2$ i $x-2y=4$.

$x-y=-14$ i $-2x+y=22$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek przecięcia

Punkt należy do obu prostych tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają oba równania. Podstawiamy $x=-8$ i $y=6$.

\[x=-8,\qquad y=6\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

Pierwsze równanie jest spełnione w każdej odpowiedzi. W drugim równaniu poprawną równość otrzymujemy tylko w D.

\[\begin{aligned}A:&\quad -(-8)+6=14\ne-14,\\B:&\quad 2(-8)+6=-10\ne10,\\C:&\quad -8-2\cdot6=-20\ne4,\\D:&\quad -2(-8)+6=22.\end{aligned}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[x-y=-14\quad\text{i}\quad -2x+y=22\]

Sprawdzenie

Punkt spełnia także pierwsze równanie z D. Proste mają jeden punkt przecięcia, ponieważ wyznacznik ich współczynników jest różny od zera.

\[-8-6=-14,\qquad -2(-8)+6=22,\qquad \begin{vmatrix}1&-1\\-2&1\end{vmatrix}=-1\ne0\]

Zadanie 7

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\[-3(x-1)\leq\frac{5-3x}{3}\]

jest przedział

$\left(-\infty,\frac{2}{3}\right\rangle$

$\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right\rangle$

$\left\langle\frac{2}{3},\infty\right)$

$\left\langle-\frac{2}{3},\infty\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 3, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[-3(x-1)\leq\frac{5-3x}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad-9(x-1)\leq 5-3x\]

2 Wyznaczenie rozwiązania

Rozwijamy nawias i porządkujemy wyrazy. Dzieląc przez −6, odwracamy znak nierówności.

\[-9x+9\leq 5-3x\quad\Longleftrightarrow\quad-6x\leq-4\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od 2/3 włącznie do nieskończoności. Odpowiedź C.

\[x\in\left\langle\frac{2}{3},\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla x = 2/3 obie strony nierówności są równe 1, więc koniec przedziału należy do rozwiązania. Dla x = 0 otrzymujemy fałszywą nierówność 3 ≤ 5/3, zgodnie z wyznaczonym przedziałem.

\[x=\frac{2}{3}:\quad -3\left(\frac{2}{3}-1\right)=1=\frac{5-3\cdot\frac{2}{3}}{3};\qquad x=0:\quad 3>\frac{5}{3}\]

Zadanie 8

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie $(x^2-3x)(x^2+1)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

jedno rozwiązanie.

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^2-3x=0\quad\text{lub}\quad x^2+1=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Pierwsze równanie rozkładamy na czynniki. Drugie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

\[x(x-3)=0\Rightarrow x=0\ \text{lub}\ x=3,\qquad x^2+1\ge 1>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: 0 i 3. Odpowiedź B.

\[\{0,3\}\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Dla 0 i 3 pierwszy czynnik jest równy zeru, więc obie liczby spełniają równanie. Drugi czynnik jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, zatem innych rozwiązań nie ma.

\[(0^2-3\cdot0)(0^2+1)=0,\qquad(3^2-3\cdot3)(3^2+1)=0\]

Zadanie 9

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=\frac{x-k}{x^2+1}$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek $f(1)=2$. Wartość współczynnika $k$ we wzorze tej funkcji jest równa

$(-3)$

$3$

$(-4)$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie warunku

Ponieważ znamy wartość funkcji dla argumentu 1, podstawiamy $x=1$ i $f(1)=2$ do wzoru.

\[\frac{1-k}{1^2+1}=2\quad\Longrightarrow\quad\frac{1-k}{2}=2\]

2 Obliczenie współczynnika

Mnożymy obie strony przez 2, a następnie wyznaczamy $k$.

\[1-k=4\quad\Longrightarrow\quad k=-3\]

Odpowiedź

Współczynnik k jest równy −3. Odpowiedź A.

\[k=-3\]

Sprawdzenie

Dla k = −3 mianownik przy x = 1 wynosi 2, a wartość funkcji jest zgodna z warunkiem.

\[f(1)=\frac{1-(-3)}{1^2+1}=\frac{4}{2}=2\]

Zadanie 10

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest liczba $1$. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt $(-1,4)$. Wzór funkcji $f$ ma postać

$f(x)=-\frac{1}{2}x+1$

$f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$

$f(x)=-2x+2$

$f(x)=-3x+1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie funkcji

Skoro miejscem zerowym jest 1, funkcję liniową można zapisać w postaci z czynnikiem $x-1$.

\[f(x)=a(x-1)\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Wykres przechodzi przez punkt $(-1,4)$, więc $f(-1)=4$. Podstawiamy te wartości, aby obliczyć $a$.

\[4=a(-1-1)=-2a\quad\Rightarrow\quad a=-2\]

3 Otrzymanie wzoru

Podstawiamy obliczony współczynnik i wymnażamy nawias.

\[f(x)=-2(x-1)=-2x+2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[f(x)=-2x+2\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej funkcji 1 jest miejscem zerowym, a punkt $(-1,4)$ należy do jej wykresu.

\[f(1)=-2+2=0,\qquad f(-1)=2+2=4\]

Zadanie 11

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(x-13)^2-256$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $(-3)$. Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

$(-29)$

$(-23)$

$23$

$29$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Przyrównujemy wzór funkcji do zera. Po przeniesieniu 256 na prawą stronę pierwiastkujemy obie strony, uwzględniając oba znaki.

\[(x-13)^2-256=0\iff(x-13)^2=256\iff x-13=\pm16\]

2 Obliczenie drugiego miejsca zerowego

Dane miejsce zerowe to −3, więc drugim jest wynik otrzymany ze znaku plus.

\[x=13-16=-3\quad\text{lub}\quad x=13+16=29\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 29. Odpowiedź D.

\[x=29\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu 29 wartość funkcji wynosi zero; otrzymane dwa miejsca zerowe są różne.

\[f(29)=(29-13)^2-256=16^2-256=0\]

Zadanie 12

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale

$Wykres funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych$

$\langle -5,4\rangle$

$\langle 5,7\rangle$

$\langle 1,5\rangle$

$\langle -1,5\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie odcinka rosnącego

Na wykresie od punktu (5,1) do punktu (7,6) wartości funkcji rosną wraz ze wzrostem x. Dodatnie nachylenie tego odcinka potwierdza, że funkcja jest na nim rosnąca.

\[\frac{6-1}{7-5}=\frac{5}{2}>0\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w przedziale ⟨5,7⟩. Odpowiedź B.

\[\langle 5,7\rangle\]

Sprawdzenie

Na całym wskazanym odcinku wykres wznosi się od wartości 1 do 6, więc dla większego x wartość f(x) jest większa.

\[5<7\quad\text{oraz}\quad f(5)=1<6=f(7)\]

Zadanie 13

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Funkcja $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x)=f(-x)$ dla każdego $x\in\langle -7,-5\rangle\cup\langle -4,4\rangle\cup\langle 5,7\rangle$. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w układzie współrzędnych $(x,y)$, wykres funkcji $y=g(x)$. Wykres funkcji $y=g(x)$ przedstawiono na rysunku

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Wariant A: wykres w układzie współrzędnych

Wariant B: wykres w układzie współrzędnych

Wariant C: wykres w układzie współrzędnych

Wariant D: wykres w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odbicie wykresu

W równości $g(x)=f(-x)$ każdemu punktowi $(x,y)$ wykresu funkcji $f$ odpowiada punkt $(-x,y)$ wykresu funkcji $g$. Odbijamy więc wykres względem osi $Oy$.

\[(x,f(x))\longmapsto(-x,f(x))\]

2 Porównanie charakterystycznych fragmentów

Rosnący odcinek po prawej stronie wykresu $f$ staje się malejącym odcinkiem po lewej stronie. Po odbiciu punktów środkowej części otrzymujemy odcinek od $(-4,-1)$ do $(1,4)$, a następnie poziomy odcinek do $(4,4)$. Prawy skrajny fragment jest poziomy na wysokości $4$. Taki wykres jest na rysunku B.

\[(5,1)\mapsto(-5,1),\quad(7,6)\mapsto(-7,6),\quad(4,-1)\mapsto(-4,-1),\quad(-1,4)\mapsto(1,4)\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[\boxed{B}\]

Sprawdzenie

Na rysunku B odcinek od $(-7,6)$ do $(-5,1)$ jest odbiciem odcinka od $(5,1)$ do $(7,6)$, a poziomy fragment od $(5,4)$ do $(7,4)$ odpowiada fragmentowi od $(-7,4)$ do $(-5,4)$. Zgadza się też dziedzina podana w zadaniu.

\[[-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]\]

Zadanie 14

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$, określona wzorem $f(x)=-(x-1)(x-5)$, przyjmuje wartość

najmniejszą równą $3$.

najmniejszą równą $4$.

największą równą $3$.

największą równą $4$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Przekształcamy wzór, aby odczytać największą wartość funkcji.

\[f(x)=-(x-1)(x-5)=-x^2+6x-5=4-(x-3)^2\]

2 Największa wartość

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc funkcja osiąga wartość 4, gdy x=3.

\[(x-3)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad f(x)=4-(x-3)^2\leq 4\]

Odpowiedź

D — funkcja przyjmuje wartość największą równą 4.

\[\max_{x\in\mathbb{R}}f(x)=4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu x=3 do wzoru z treści otrzymujemy 4, więc wskazana wartość jest osiągana.

\[f(3)=-(3-1)(3-5)=-(2)(-2)=4\]

Zadanie 15

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+1}{2}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

$2$

$(-2)$

$3$

$(-1)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Trzeci wyraz otrzymujemy, podstawiając $n=3$ do wzoru ciągu.

\[a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}\]

2 Obliczenie wartości

Ponieważ wykładnik jest nieparzysty, $(-1)^3=-1$.

\[a_3=-1\cdot\frac{4}{2}=-2\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz wynosi $-2$. Odpowiedź B.

\[a_3=-2\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi B podano $-2$, czyli obliczoną wartość trzeciego wyrazu.

\[(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}=-2\]

Zadanie 16

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg $(-2,\ 1,\ x,\ y)$ jest geometryczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

$\left(-\frac{5}{4}\right)$

$(-4)$

$\left(-\frac{1}{4}\right)$

$\left(-\frac{15}{4}\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz.

\[q=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\]

2 Obliczenie pozostałych wyrazów

Mnożymy kolejne wyrazy przez wyznaczony iloraz.

\[x=1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2},\qquad y=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\]

3 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie cztery wyrazy ciągu.

\[S=-2+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Suma wynosi −5/4. Odpowiedź A.

\[S=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Ilorazy kolejnych wyrazów są równe −1/2, więc wyznaczone wyrazy tworzą ciąg geometryczny. Suma −5/4 odpowiada odpowiedzi A.

\[\frac{1}{-2}=\frac{-\frac{1}{2}}{1}=\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\]

Zadanie 17

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Koło ma promień równy $3$. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym $30^\circ$ jest równy

$\frac{3}{4}\pi$

$\frac{1}{2}\pi$

$\frac{3}{4}\pi+6$

$\frac{1}{2}\pi+6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość łuku

Kąt 30° stanowi jedną dwunastą pełnego kąta, więc łuk ma jedną dwunastą długości okręgu.

\[l=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 3=\frac{\pi}{2}\]

2 Obwód wycinka

Do długości łuku dodajemy dwa promienie.

\[O=l+2r=\frac{\pi}{2}+2\cdot 3=\frac{\pi}{2}+6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[O=\frac{1}{2}\pi+6\]

Sprawdzenie

Łuk stanowi jedną dwunastą obwodu całego koła, czyli 6π : 12 = π/2; po dodaniu dwóch promieni otrzymujemy podany obwód.

\[\frac{6\pi}{12}+3+3=\frac{\pi}{2}+6\]

Zadanie 18

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}$. Sinus kąta $\alpha$ jest równy

$\frac{24}{49}$

$\frac{5}{7}$

$\frac{25}{49}$

$\frac{\sqrt{6}}{7}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu sinusa

Korzystamy z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

\[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wyznaczenie sinusa

Kąt $\alpha$ jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wartość jest dodatnia, a suma kwadratów sinusa i podanego cosinusa wynosi 1.

\[\left(\frac{5}{7}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=\frac{25}{49}+\frac{24}{49}=1\]

Zadanie 19

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu $O$ kąt środkowy $\beta$ oraz kąt wpisany $\alpha$ są oparte na tym samym łuku. Kąt $\beta$ ma miarę o $40^\circ$ większą od kąta $\alpha$. Miara kąta $\beta$ jest równa

$40^\circ$

$80^\circ$

$100^\circ$

$120^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność między kątami

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego.

\[\beta=2\alpha\]

2 Oblicz miarę kąta

Z treści zadania mamy też $\beta=\alpha+40^\circ$. Porównujemy oba wyrażenia i obliczamy $\alpha$, a następnie $\beta$.

\[2\alpha=\alpha+40^\circ\Rightarrow\alpha=40^\circ\Rightarrow\beta=2\cdot40^\circ=80^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: kąt środkowy ma miarę 80°.

\[\beta=80^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt 80° jest dwa razy większy od kąta 40° i przewyższa go o 40°, zgodnie z obiema zależnościami.

\[80^\circ=2\cdot40^\circ,\qquad80^\circ-40^\circ=40^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole trójkąta równobocznego o wysokości $3$ jest równe

$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\frac{9\sqrt{3}}{4}$

$3\sqrt{3}$

$6\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ ma długość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, więc wyznaczamy bok z podanej wysokości.

\[3=\frac{a\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie pola

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości.

\[P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot3}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi $3\sqrt{3}$. Odpowiedź C.

\[P=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku $2\sqrt{3}$ wysokość wynosi $3$, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3\]

Zadanie 21

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Każdy z kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego ma miarę

$120^\circ$

$135^\circ$

$144^\circ$

$150^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma kątów

Dziesięciokąt można podzielić na 8 trójkątów, więc suma jego kątów wewnętrznych wynosi:

\[(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ\]

2 Miara jednego kąta

W dziesięciokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, dlatego dzielimy sumę przez 10.

\[\frac{1440^\circ}{10}=144^\circ\]

Odpowiedź

Każdy kąt ma miarę 144°. Odpowiedź C.

\[144^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt zewnętrzny ma miarę 360° : 10 = 36°, a wraz z kątem wewnętrznym daje 180°.

\[144^\circ+36^\circ=180^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Obwód trójkąta prostokątnego $ABC$ jest równy $L$. Na boku $CB$ tego trójkąta obrano punkt $E$, a na boku $AB$ obrano punkt $D$ tak, że $DE\parallel AC$ oraz $|AD|:|DB|=3:4$ (zobacz rysunek).

Obwód trójkąta $BED$ jest równy

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku CB oraz odcinkiem DE równoległym do AC.

$\frac{3}{4}L$

$\frac{3}{7}L$

$\frac{4}{7}L$

$\frac{1}{4}L$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skali podobieństwa

Ponieważ punkt D leży na boku AB, z proporcji AD:DB=3:4 wynika, że cały bok AB ma 7 takich samych części, a DB ma 4 części.

\[\frac{|DB|}{|AB|}=\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7}\]

2 Obliczenie obwodu

Z równoległości DE i AC wynika podobieństwo trójkątów BED i BCA. Ich obwody są w takim samym stosunku jak odpowiadające sobie boki DB i AB.

\[\frac{O_{BED}}{O_{ABC}}=\frac{|DB|}{|AB|}=\frac{4}{7},\qquad O_{BED}=\frac{4}{7}L\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{4}{7}L\]

Sprawdzenie

Udziały AD i DB sumują się do całego boku AB: 3/7+4/7=1. Ponieważ 4/7<1, obwód mniejszego trójkąta BED jest mniejszy od L.

\[\frac{3}{7}L+\frac{4}{7}L=L\]

Zadanie 23

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są prosta $k$ o równaniu $y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}$ oraz punkt $P=(12,-1)$. Prosta przechodząca przez punkt $P$ i równoległa do prostej $k$ ma równanie

$y=-\frac{3}{4}x+8$

$y=\frac{3}{4}x-10$

$y=\frac{4}{3}x-17$

$y=-\frac{4}{3}x+15$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:

\[y=\frac{3}{4}x+b\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu P, ponieważ prosta przez niego przechodzi.

\[-1=\frac{3}{4}\cdot12+b=9+b\quad\Rightarrow\quad b=-10\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[y=\frac{3}{4}x-10\]

Sprawdzenie

Dla x=12 otrzymujemy y=-1, więc punkt P należy do prostej. Jej współczynnik kierunkowy jest taki sam jak współczynnik prostej k.

\[\frac{3}{4}\cdot12-10=-1\]

Zadanie 24

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $A=(-1,-4)$ jest wierzchołkiem równoległoboku $ABCD$. Punkt $S=(2,2)$ jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej $AC$ równoległoboku $ABCD$ jest równa

$\sqrt{5}$

$2\sqrt{5}$

$3\sqrt{5}$

$6\sqrt{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie środka symetrii

W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, więc punkt S jest środkiem przekątnej AC. Jej długość jest dwa razy większa od AS.

\[|AC|=2|AS|\]

2 Obliczenie długości

Stosujemy wzór na odległość punktów A i S, korzystając z różnic ich współrzędnych.

\[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},\qquad |AC|=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej AC wynosi 6√5. Odpowiedź D.

\[|AC|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Punkt przeciwległy do A ma współrzędne C=(5,8). Środek odcinka AC to (2,2), czyli podany punkt S, a odległość AC wynosi √(6²+12²)=6√5.

\[C=(2\cdot2-(-1),\,2\cdot2-(-4))=(5,8),\quad |AC|=\sqrt{(5+1)^2+(8+4)^2}=6\sqrt{5}\]

Zadanie 25

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą $6$.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

$216+18\sqrt{3}$

$216+54\sqrt{3}$

$216+216\sqrt{3}$

$216+108\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy

Sześciokąt foremny dzieli się na sześć trójkątów równobocznych o boku 6. Pole każdego z nich wynosi $\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$.

\[P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=54\sqrt{3}\]

2 Pole boczne

Wysokość graniastosłupa jest równa długości jego krawędzi bocznej, czyli 6. Pole boczne to obwód podstawy pomnożony przez wysokość.

\[P_b=(6\cdot 6)\cdot 6=216\]

3 Pole całkowite

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej.

\[P_c=2P_p+P_b=2\cdot54\sqrt{3}+216=216+108\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: $216+108\sqrt{3}$ jednostek kwadratowych.

\[P_c=216+108\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Sześć ścian bocznych ma po $6\cdot6=36$ jednostek kwadratowych, więc razem 216. Dwie podstawy mają łącznie $2\cdot54\sqrt{3}=108\sqrt{3}$, co daje otrzymany wynik.

\[6\cdot36+2\cdot54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}\]

Zadanie 26

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.

Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa jest równy

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu przekątnej

Rzut dłuższej przekątnej graniastosłupa na podstawę łączy przeciwległe wierzchołki sześciokąta foremnego. Ma długość równą dwóm bokom podstawy.

\[d=2\cdot 6=12\]

2 Obliczenie cosinusa

Wysokość graniastosłupa wynosi 6. Przekątna, jej rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, więc obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa, a następnie cosinus kąta nachylenia.

\[D=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5},\qquad \cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{2}{\sqrt{5}}\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne 12 i 6 dają przeciwprostokątną o kwadracie 180, równym kwadratowi 6√5. Otrzymany cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[12^2+6^2=180=(6\sqrt{5})^2,\qquad 0<\frac{2}{\sqrt{5}}<1\]

Zadanie 27

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy $12$. Wynika stąd, że w tym ostrosłupie stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy jest równy

$24$

$3$

$6$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pól

Podstawa jest kwadratem o boku $a$, a powierzchnia boczna składa się z czterech trójkątów o podstawie $a$ i wysokości $h_b$.

\[P_p=a^2,\qquad P_b=4\cdot\frac{ah_b}{2}=2ah_b\]

2 Obliczenie stosunku

Podstawiamy pola do danego stosunku i dzielimy przez $2$.

\[\frac{P_b}{P_p}=\frac{2ah_b}{a^2}=2\frac{h_b}{a}=12\quad\Rightarrow\quad\frac{h_b}{a}=6\]

Odpowiedź

Stosunek wynosi 6. Odpowiedź C.

\[\frac{h_b}{a}=6\]

Sprawdzenie

Dla tego stosunku pole boczne jest 12 razy większe od pola podstawy, zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{P_b}{P_p}=2\cdot 6=12\]

Zadanie 28

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

Diagram słupkowy. Wynagrodzenie brutto za styczeń 2023 roku (w zł) i liczba pracowników: 4800 — 10, 5100 — 36, 5500 — 5, 5900 — 25, 6400 — 18, 7500 — 4, 8600 — 2.

$5\ 690$ zł

$5\ 280$ zł

$6\ 257$ zł

$5\ 900$ zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby pracowników

Sumujemy liczby pracowników z każdego słupka, aby ustalić, przez ile dzielić łączne wynagrodzenie.

\[10+36+5+25+18+4+2=100\]

2 Obliczenie średniej ważonej

Każde wynagrodzenie mnożymy przez liczbę osób, które je otrzymały. Sumę dzielimy przez liczbę pracowników.

\[\frac{4800\cdot10+5100\cdot36+5500\cdot5+5900\cdot25+6400\cdot18+7500\cdot4+8600\cdot2}{100}=\frac{569000}{100}=5690\ \text{zł}\]

Odpowiedź

A. Średnia wynagrodzenia brutto wynosi 5690 zł.

\[\boxed{5690\ \text{zł}}\]

Sprawdzenie

Łączne wynagrodzenie wynosi 569 000 zł, a 100 osób zarabiających średnio 5690 zł daje tę samą kwotę.

\[100\cdot5690=569000\ \text{zł}\]

Zadanie 29

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

$9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$

$9\cdot 9\cdot 9\cdot 9$

$10\cdot 9\cdot 8\cdot 7$

$9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba czterocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrę wybieramy na 9 sposobów.

\[9\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na kolejnych miejscach pozostaje odpowiednio 9, 8 i 7 możliwości. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Odpowiedź

4536 liczb; odpowiedź D.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Sprawdzenie

Gdyby dopuścić zero na początku, byłoby 5040 zapisów. Spośród nich 504 zaczynają się od zera, więc czterocyfrowych liczb jest 4536.

\[10\cdot9\cdot8\cdot7-9\cdot8\cdot7=5040-504=4536\]

Zadanie 30

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność $5-x^{2}>3x+1$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Sprowadzamy nierówność do postaci iloczynowej, aby ustalić jej znak.

\[5-x^2>3x+1\iff x^2+3x-4<0\iff (x+4)(x-1)<0\]

2 Wyznacz przedział

Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między ich miejscami zerowymi.

\[x+4=0\iff x=-4,\qquad x-1=0\iff x=1,\qquad -4<x<1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −4 do 1, bez końców.

\[x\in(-4,1)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 0 z otrzymanego przedziału nierówność jest prawdziwa. W punktach −4 i 1 zachodzi równość, więc nie należą do rozwiązania. Poza tym przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, zatem ich iloczyn nie jest ujemny.

\[x=0:\ 5>1;\qquad x=-4\ \text{lub}\ x=1:\ (x+4)(x-1)=0\]

Zadanie 31

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg $\left(3x^{2}+5x,\ x^{2},\ 20-x^{2}\right)$ jest arytmetyczny. Oblicz $x$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym podwojony wyraz środkowy jest sumą wyrazów skrajnych.

\[2x^{2}=(3x^{2}+5x)+(20-x^{2})\]

2 Obliczenie x

Upraszczamy równanie i odejmujemy $2x^{2}$ od obu stron.

\[2x^{2}=2x^{2}+5x+20\quad\Rightarrow\quad 5x+20=0\quad\Rightarrow\quad x=-4\]

Odpowiedź

$x=-4$.

\[x=-4\]

Sprawdzenie

Dla $x=-4$ wyrazy ciągu to $28,16,4$. Obie różnice wynoszą $-12$, więc ciąg jest arytmetyczny.

\[16-28=4-16=-12\]

Zadanie 32

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $y$ takiej, że $x>2y$, prawdziwa jest nierówność \[x^{2}+3xy-10y^{2}>0\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wyrażenie na czynniki

Postać iloczynu pozwala ustalić znak wyrażenia z założeń.

\[x^{2}+3xy-10y^{2}=(x+5y)(x-2y)\]

2 Ustal znaki czynników

Z założenia $x>2y$ wynika $x-2y>0$. Ponieważ $y>0$, mamy też $x>0$, więc $x+5y>0$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni.

\[x-2y>0,\quad x+5y>0\quad\Longrightarrow\quad (x+5y)(x-2y)>0\]

Odpowiedź

Dla wszystkich podanych $x$ i $y$ nierówność jest prawdziwa.

\[x^{2}+3xy-10y^{2}>0\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu czynników otrzymujemy wyrażenie z tezy. Warunek $x>2y$ zapewnia ścisłą dodatniość czynnika $x-2y$; przy $x=2y$ iloczyn byłby równy zeru.

\[(x+5y)(x-2y)=x^{2}+3xy-10y^{2}\]

Zadanie 33

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$, w którym podstawa $CD$ ma długość $6$, ramię $AD$ ma długość $4$, a kąty $BAD$ oraz $ABC$ mają miarę $60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu.

Trapez równoramienny ABCD z oznaczeniami: CD = 6, AD = 4 oraz kąty przy podstawie AB po 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny. Ramię AD jest jego przeciwprostokątną.

\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie dłuższej podstawy

Poziomy rzut każdego ramienia ma długość 2. Dodajemy oba rzuty do krótszej podstawy.

\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]

3 Obliczenie pola

Pole trapezu jest równe połowie sumy podstaw pomnożonej przez wysokość.

\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt{3}=16\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.

\[P=16\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada poziomy rzut 2. Wraz z wysokością 2√3 daje to ramię długości 4, zgodnie z danymi.

\[\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4\]

Zadanie 34

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie

$\frac{2x-3}{3x-2}=\frac{1}{2x}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianowniki muszą być różne od zera.

\[3x-2\ne 0,\quad 2x\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne\frac{2}{3},\;x\ne 0\]

2 Usunięcie mianowników

Dla liczb z dziedziny mnożymy obie strony przez $2x(3x-2)$ i porządkujemy równanie.

\[2x(2x-3)=3x-2\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-9x+2=0\]

3 Rozwiązanie równania kwadratowego

Obliczamy wyróżnik i wyznaczamy pierwiastki.

\[\Delta=(-9)^2-4\cdot4\cdot2=49,\qquad x=\frac{9\pm\sqrt{49}}{8}=2\;\text{ lub }\;\frac14\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są $x=2$ oraz $x=\frac14$.

\[x\in\left\{\frac14,2\right\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby należą do dziedziny. Po podstawieniu dla $x=2$ obie strony równania wynoszą $\frac14$, a dla $x=\frac14$ obie wynoszą $2$.

\[x=2:\ \frac{2x-3}{3x-2}=\frac14=\frac1{2x};\qquad x=\frac14:\ \frac{2x-3}{3x-2}=2=\frac1{2x}\]

Zadanie 35

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru pięciu liczb $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsze losowanie

W zbiorze są trzy liczby nieparzyste spośród pięciu, więc prawdopodobieństwo wylosowania liczby nieparzystej wynosi:

\[P(\text{pierwsza nieparzysta})=\frac{3}{5}\]

2 Drugie losowanie

Jeśli pierwsza liczba była nieparzysta, bez zwracania pozostają dwie liczby nieparzyste spośród czterech. Mnożymy prawdopodobieństwa kolejnych losowań:

\[P(A)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi $\frac{3}{10}$.

\[P(A)=\frac{3}{10}\]

Sprawdzenie

Możliwych uporządkowanych par jest $5\cdot4=20$, a par złożonych z liczb nieparzystych $3\cdot2=6$. Otrzymujemy ponownie ten sam wynik.

\[\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\]

Zadanie 36

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty $A=\left(\frac{22}{5},-\frac{21}{5}\right)$, $B=(6,7)$ oraz $C=(-9,2)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$.

Symetralna boku $AB$ tego trójkąta przecina bok $BC$ w punkcie $D$.

Oblicz współrzędne punktu $D$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Parametryzacja boku BC

Punkt D leży na boku BC, więc zapisujemy jego współrzędne za pomocą parametru t z przedziału od 0 do 1.

\[D=B+t(C-B)=(6-15t,\,7-5t),\quad 0\le t\le 1\]

2 Warunek symetralnej

Punkt na symetralnej odcinka AB jest jednakowo odległy od A i B. Po podstawieniu współrzędnych D rozwiązujemy równanie.

\[|DA|^2=|DB|^2\iff \left(\frac85-15t\right)^2+\left(\frac{56}5-5t\right)^2=(-15t)^2+(-5t)^2\iff 128-160t=0\iff t=\frac45\]

3 Współrzędne punktu D

Podstawiamy obliczoną wartość parametru do współrzędnych punktu D.

\[D=\left(6-15\cdot\frac45,\,7-5\cdot\frac45\right)=(-6,3)\]

Odpowiedź

Punkt D ma współrzędne (-6, 3).

\[D=(-6,3)\]

Sprawdzenie

Ponieważ 4/5 należy do przedziału od 0 do 1, punkt D leży na boku BC. Ponadto kwadraty odległości D od A i B są równe 160, więc D leży na symetralnej AB.

\[\frac45\in[0,1],\qquad |DA|^2=\left(-\frac{52}5\right)^2+\left(\frac{36}5\right)^2=160=12^2+4^2=|DB|^2\]