Otwarte5 pkt
Punkty \(A=\left(\frac{22}{5},-\frac{21}{5}\right)\), \(B=(6,7)\) oraz \(C=(-9,2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\).
Symetralna boku \(AB\) tego trójkąta przecina bok \(BC\) w punkcie \(D\).
Oblicz współrzędne punktu \(D\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Parametryzacja boku BC
Punkt D leży na boku BC, więc zapisujemy jego współrzędne za pomocą parametru t z przedziału od 0 do 1.
\[D=B+t(C-B)=(6-15t,\,7-5t),\quad 0\le t\le 1\]
2 Warunek symetralnej
Punkt na symetralnej odcinka AB jest jednakowo odległy od A i B. Po podstawieniu współrzędnych D rozwiązujemy równanie.
\[|DA|^2=|DB|^2\iff \left(\frac85-15t\right)^2+\left(\frac{56}5-5t\right)^2=(-15t)^2+(-5t)^2\iff 128-160t=0\iff t=\frac45\]
3 Współrzędne punktu D
Podstawiamy obliczoną wartość parametru do współrzędnych punktu D.
\[D=\left(6-15\cdot\frac45,\,7-5\cdot\frac45\right)=(-6,3)\]
Odpowiedź
Punkt D ma współrzędne (-6, 3).
\[D=(-6,3)\]
Sprawdzenie
Ponieważ 4/5 należy do przedziału od 0 do 1, punkt D leży na boku BC. Ponadto kwadraty odległości D od A i B są równe 160, więc D leży na symetralnej AB.
\[\frac45\in[0,1],\qquad |DA|^2=\left(-\frac{52}5\right)^2+\left(\frac{36}5\right)^2=160=12^2+4^2=|DB|^2\]