Zamknięte1 pkt
Równanie \((x^2-3x)(x^2+1)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A
jedno rozwiązanie.
B
dwa rozwiązania.
C
trzy rozwiązania.
D
cztery rozwiązania.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie zasady iloczynu
Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.
\[x^2-3x=0\quad\text{lub}\quad x^2+1=0\]
2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych
Pierwsze równanie rozkładamy na czynniki. Drugie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
\[x(x-3)=0\Rightarrow x=0\ \text{lub}\ x=3,\qquad x^2+1\ge 1>0\]
Odpowiedź
Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: 0 i 3. Odpowiedź B.
\[\{0,3\}\quad\text{— B}\]
Sprawdzenie
Dla 0 i 3 pierwszy czynnik jest równy zeru, więc obie liczby spełniają równanie. Drugi czynnik jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, zatem innych rozwiązań nie ma.
\[(0^2-3\cdot0)(0^2+1)=0,\qquad(3^2-3\cdot3)(3^2+1)=0\]