Otwarte2 pkt
Rozwiąż równanie
\(\frac{2x-3}{3x-2}=\frac{1}{2x}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie dziedziny
Mianowniki muszą być różne od zera.
\[3x-2\ne 0,\quad 2x\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne\frac{2}{3},\;x\ne 0\]
2 Usunięcie mianowników
Dla liczb z dziedziny mnożymy obie strony przez \(2x(3x-2)\) i porządkujemy równanie.
\[2x(2x-3)=3x-2\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-9x+2=0\]
3 Rozwiązanie równania kwadratowego
Obliczamy wyróżnik i wyznaczamy pierwiastki.
\[\Delta=(-9)^2-4\cdot4\cdot2=49,\qquad x=\frac{9\pm\sqrt{49}}{8}=2\;\text{ lub }\;\frac14\]
Odpowiedź
Rozwiązaniami są \(x=2\) oraz \(x=\frac14\).
\[x\in\left\{\frac14,2\right\}\]
Sprawdzenie
Obie liczby należą do dziedziny. Po podstawieniu dla \(x=2\) obie strony równania wynoszą \(\frac14\), a dla \(x=\frac14\) obie wynoszą \(2\).
\[x=2:\ \frac{2x-3}{3x-2}=\frac14=\frac1{2x};\qquad x=\frac14:\ \frac{2x-3}{3x-2}=2=\frac1{2x}\]