Otwarte2 pkt
Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).
Oblicz pole tego trapezu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie wysokości
Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny. Ramię AD jest jego przeciwprostokątną.
\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\]
2 Obliczenie dłuższej podstawy
Poziomy rzut każdego ramienia ma długość 2. Dodajemy oba rzuty do krótszej podstawy.
\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]
3 Obliczenie pola
Pole trapezu jest równe połowie sumy podstaw pomnożonej przez wysokość.
\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt{3}=16\sqrt{3}\]
Odpowiedź
Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.
\[P=16\sqrt{3}\]
Sprawdzenie
Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada poziomy rzut 2. Wraz z wysokością 2√3 daje to ramię długości 4, zgodnie z danymi.
\[\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4\]