Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(y\) takiej, że \(x>2y\), prawdziwa jest nierówność \[x^{2}+3xy-10y^{2}>0\]
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rozłóż wyrażenie na czynniki
Postać iloczynu pozwala ustalić znak wyrażenia z założeń.
\[x^{2}+3xy-10y^{2}=(x+5y)(x-2y)\]
2 Ustal znaki czynników
Z założenia \(x>2y\) wynika \(x-2y>0\). Ponieważ \(y>0\), mamy też \(x>0\), więc \(x+5y>0\). Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni.
\[x-2y>0,\quad x+5y>0\quad\Longrightarrow\quad (x+5y)(x-2y)>0\]
Odpowiedź
Dla wszystkich podanych \(x\) i \(y\) nierówność jest prawdziwa.
\[x^{2}+3xy-10y^{2}>0\]
Sprawdzenie
Po wymnożeniu czynników otrzymujemy wyrażenie z tezy. Warunek \(x>2y\) zapewnia ścisłą dodatniość czynnika \(x-2y\); przy \(x=2y\) iloczyn byłby równy zeru.
\[(x+5y)(x-2y)=x^{2}+3xy-10y^{2}\]