Zamknięte1 pkt
W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa
A
\(\sqrt{5}\)
B
\(2\sqrt{5}\)
C
\(3\sqrt{5}\)
D
\(6\sqrt{5}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wykorzystanie środka symetrii
W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, więc punkt S jest środkiem przekątnej AC. Jej długość jest dwa razy większa od AS.
\[|AC|=2|AS|\]
2 Obliczenie długości
Stosujemy wzór na odległość punktów A i S, korzystając z różnic ich współrzędnych.
\[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},\qquad |AC|=6\sqrt{5}\]
Odpowiedź
Długość przekątnej AC wynosi 6√5. Odpowiedź D.
\[|AC|=6\sqrt{5}\]
Sprawdzenie
Punkt przeciwległy do A ma współrzędne C=(5,8). Środek odcinka AC to (2,2), czyli podany punkt S, a odległość AC wynosi √(6²+12²)=6√5.
\[C=(2\cdot2-(-1),\,2\cdot2-(-4))=(5,8),\quad |AC|=\sqrt{(5+1)^2+(8+4)^2}=6\sqrt{5}\]