Zamknięte1 pkt
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.
Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa jest równy
A
\(\frac{1}{2}\)
B
\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
C
\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
D
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie rzutu przekątnej
Rzut dłuższej przekątnej graniastosłupa na podstawę łączy przeciwległe wierzchołki sześciokąta foremnego. Ma długość równą dwóm bokom podstawy.
\[d=2\cdot 6=12\]
2 Obliczenie cosinusa
Wysokość graniastosłupa wynosi 6. Przekątna, jej rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, więc obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa, a następnie cosinus kąta nachylenia.
\[D=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5},\qquad \cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\]
Odpowiedź
Odpowiedź B.
\[\frac{2}{\sqrt{5}}\]
Sprawdzenie
Przyprostokątne 12 i 6 dają przeciwprostokątną o kwadracie 180, równym kwadratowi 6√5. Otrzymany cosinus należy do przedziału od 0 do 1.
\[12^2+6^2=180=(6\sqrt{5})^2,\qquad 0<\frac{2}{\sqrt{5}}<1\]