Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(5-x^{2}>3x+1\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Sprowadzamy nierówność do postaci iloczynowej, aby ustalić jej znak.
\[5-x^2>3x+1\iff x^2+3x-4<0\iff (x+4)(x-1)<0\]
2 Wyznacz przedział
Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między ich miejscami zerowymi.
\[x+4=0\iff x=-4,\qquad x-1=0\iff x=1,\qquad -4<x<1\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział od −4 do 1, bez końców.
\[x\in(-4,1)\]
Sprawdzenie
Dla liczby 0 z otrzymanego przedziału nierówność jest prawdziwa. W punktach −4 i 1 zachodzi równość, więc nie należą do rozwiązania. Poza tym przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, zatem ich iloczyn nie jest ujemny.
\[x=0:\ 5>1;\qquad x=-4\ \text{lub}\ x=1:\ (x+4)(x-1)=0\]