Matematyka — matura 2018

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10% zmniejszyła się o 2 018 zł. Ten towar po tej obniżce kosztował

Liczba \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) jest równa

Dane są liczby \(x=4{,}5\cdot10^{-8}\) oraz \(y=1{,}5\cdot10^2\). Wtedy iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy

Liczba \(\log_4 96-\log_4 6\) jest równa

Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\).

Wskaż ten układ.

Rozwiązaniem równania \(\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}\) jest liczba

Dane są funkcje \(f(x)=3^x\) oraz \(g(x)=f(-x)\), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Punkt wspólny wykresów funkcji \(f\) i \(g\)

Punkt \((1,\sqrt{3})\) należy do wykresu funkcji \(y=2\sqrt{3}x+b\). Wtedy współczynnik \(b\) jest równy

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-2x-11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=-3(x-2)(x-9)\). Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle\) jest

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), spełnia warunek \(a_3+a_4+a_5=15\). Wtedy

Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x,x+4,16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(\alpha\) jest równa \(\sqrt{3}\). Zatem

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha=\frac{3}{5}\). Wtedy

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=114^\circ\). Wynika stąd, że

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa \(80^\circ\). Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę

Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze \(60^\circ\) jest równe

Proste o równaniach \(y=(3m-4)x+2\) oraz \(y=(12-m)x+3m\) są równoległe, gdy

Punkt \(A=(-3,2)\) jest końcem odcinka \(AB\), a punkt \(M=(4,1)\) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka \(AB\) jest równa

Jeżeli \(\alpha\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \(10\sqrt{2}\). Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa

W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe

Rozwiąż nierówność \(x^2+6x-16<0\).

Rozwiąż równanie \((x^3+27)(x^2-16)=0\).

W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\). Z wierzchołka \(D\) poprowadzono prostą przecinającą bok \(BC\) w punkcie \(E\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\).

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Punkty \(A=(2,4)\), \(B=(0,0)\), \(C=(4,-2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Ze zbioru \(A=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B=\{-1,0,1,2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta \(ACB\).