Otwarte2 pkt
Rozwiąż równanie \((x^3+27)(x^2-16)=0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego
Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.
\[(x^3+27)(x^2-16)=0\iff x^3+27=0\ \text{lub}\ x^2-16=0\]
2 Rozwiązanie równań
Funkcja sześcienna przyjmuje każdą wartość rzeczywistą tylko raz, a równanie kwadratowe daje dwa pierwiastki.
\[x^3=-27\iff x=-3,\qquad x^2=16\iff x=-4\ \text{lub}\ x=4\]
Odpowiedź
Rozwiązania to −4, −3 i 4.
\[x\in\{-4,-3,4\}\]
Sprawdzenie
Dla x = −3 pierwszy czynnik jest zerem. Dla x = −4 i x = 4 drugi czynnik jest zerem, więc wszystkie trzy liczby spełniają równanie.
\[(-3)^3+27=0,\qquad (-4)^2-16=0,\qquad 4^2-16=0\]