Zadanie 28 — matura 2018, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\). Z wierzchołka \(D\) poprowadzono prostą przecinającą bok \(BC\) w punkcie \(E\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

Równoległobok ABCD; punkt E na boku BC, prosta DE przedłużona do punktu F na przedłużeniu boku AB.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie trójkątów

Ponieważ \(DC\parallel AB\), a \(B,F\) leżą na prostej \(AB\), odpowiednie kąty trójkątów \(DCE\) i \(FBE\) są równe. Kąty przy \(E\) są wierzchołkowe, więc trójkąty są podobne.

\[\angle DCE=\angle FBE,\quad \angle DEC=\angle FEB\quad\Longrightarrow\quad \triangle DCE\sim\triangle FBE\]

2 Równość odcinków

Punkt \(E\) jest środkiem \(BC\), zatem \(CE=BE\). Z podobieństwa wynika, że odpowiadające im boki \(DC\) i \(BF\) też są równe.

\[\frac{DC}{BF}=\frac{CE}{BE}=1\quad\Longrightarrow\quad DC=BF\]

3 Wniosek

Przeciwległe boki równoległoboku są równe, więc \(AB=DC=BF\). Z rysunku wynika, że \(B\) leży między \(A\) i \(F\); jest zatem środkiem \(AF\).

\[AB=DC=BF\]

Odpowiedź

Punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

\[AB=BF\]

Sprawdzenie

Podobieństwo daje \(BF=DC\), a własność równoległoboku daje \(DC=AB\). Odcinki \(AB\) i \(BF\) są więc równe i tworzą cały odcinek \(AF\).

\[AF=AB+BF=2AB=2BF\]