Otwarte2 pkt
Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekształcenie lewej strony
Rozwijamy iloczyn i sprowadzamy różnicę względem 4 do wspólnego mianownika, aby ocenić jej znak.
\[(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-4=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{(a-b)^2}{ab}\]
2 Ocena znaku
Ponieważ a i b są dodatnie, mianownik jest dodatni, a kwadrat w liczniku jest nieujemny. Otrzymujemy żądaną nierówność.
\[ab>0,\quad (a-b)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich a i b. Równość występuje dokładnie wtedy, gdy a=b.
\[(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\iff\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0\]
Sprawdzenie
Dla a=b=t>0 lewa strona wynosi 4. Gdy a≠b, kwadrat różnicy jest dodatni, więc nierówność jest ostra.
\[(t+t)\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t}\right)=4\]