Otwarte2 pkt
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ułóż równania
Korzystamy ze wzoru na dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego oraz ze wzoru na sumę ośmiu początkowych wyrazów.
\[a_1+8d=34,\qquad S_8=\frac{8}{2}(2a_1+7d)=110\]
2 Oblicz różnicę
Upraszczamy równanie sumy i odejmujemy je od podwojonego pierwszego równania, aby wyeliminować pierwszy wyraz.
\[2a_1+7d=\frac{55}{2},\qquad (2a_1+16d)-(2a_1+7d)=68-\frac{55}{2},\qquad 9d=\frac{81}{2},\qquad d=\frac{9}{2}\]
3 Oblicz pierwszy wyraz
Podstawiamy wyznaczoną różnicę do równania na dziewiąty wyraz.
\[a_1=34-8\cdot\frac{9}{2}=-2\]
Odpowiedź
Pierwszy wyraz wynosi −2, a różnica ciągu wynosi 9/2.
\[a_1=-2,\qquad d=\frac{9}{2}\]
Sprawdzenie
Dziewiąty wyraz wynosi 34, a suma ośmiu początkowych wyrazów wynosi 110, zgodnie z treścią zadania.
\[a_9=-2+8\cdot\frac{9}{2}=34,\qquad S_8=4\left(2\cdot(-2)+7\cdot\frac{9}{2}\right)=110\]